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當n∈N*時，Sn=1-
1
2
+
1
3
-
1
4
+…+
1
2n-1
-
1
2n
，
（Ⅰ）求S1，S2，T1，T2；
（Ⅱ）猜想Sn與Tn的關系，并用數學歸納法證明．
（I）∵當n∈N*時，Sn=1-
1
2
+
1
3
-
1
4
+…+
1
2n-1
-
1
2n
，Tn=
1
n+1
+
1
n+2
+
1
n+3
+…+
1
2n
．
∴S1=1-
1
2
=
1
2
，S2=1-
1
2
+
1
3
-
1
4
=
7
12
，T1=
1
1+1
=
1
2
，T2=
1
2+1
+
1
2+2
=
7
12
（2分）
（II）猜想：Sn=Tn（n∈N*），即：
1-
1
2
+
1
3
-
1
4
+…+
1
2n-1
-
1
2n
=
1
n+1
+
1
n+2
+
1
n+3
+…+
1
2n

（n∈N*）（5分）
下面用數學歸納法證明：
①當n=1時，已證S1=T1（6分）
②假設n=k時，Sk=Tk（k≥1，k∈N*），
即：1-
1
2
+
1
3
-
1
4
+…+
1
2k-1
-
1
2k
=
1
k+1
+
1
k+2
+
1
k+3
+…+
1
2k
（8分）
則：Sk+1=Sk+
1
2k+1
-
1
2(k+1)
=Tk+
1
2k+1
-
1
2(k+1)
（10分）
=
1
k+1
+
1
k+2
+
1
k+3
+…+
1
2k
+
1
2k+1
-
1
2(k+1)
（11分）
=
1
k+2
+
1
k+3
+…+
1
2k
+
1
2k+1
+（
1
k+1
-
1
2(k+1)
）
=
1
(k+1)+1
+
1
(k+1)+2
+…+
1
2k+1
+
1
2(k+1)
=Tk+1，
由①，②可知，對任意n∈N*，Sn=Tn都成立．（14分）
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

定義數列{an}：a1=1，當n≥2時，an=
an-1+r，n=2k，k∈N*
2an-1，n=2k+1，k∈N*
其中r≥0常數．
（Ⅰ）若當r=0時，Sn=a1+a2+…+an；
（1）求：Sn；
（2）求證：數列{S2n}中任意三項均不能構成等差數列；
（Ⅱ）求證：對一切n∈N*及r≥0，不等式
n
k=1
2k
a2k-1a2k
＜4恒成立．

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科目：高中數學 來源： 題型：

當n∈N*時，Sn=1-
1
2
+
1
3
-
1
4
+…+
1
2n-1
-
1
2n
，
（Ⅰ）求S1，S2，T1，T2；
（Ⅱ）猜想Sn與Tn的關系，并用數學歸納法證明．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知A（x1，y1），B（x2，y2）是函數f(x)=
2x
1-2x
，x≠
1
2
-1，x=
1
2
的圖象上的任意兩點，點M在直線x=
1
2
上，且
AM
=
MB
．
（1）求x1+x2的值及y1+y2的值；
（2）已知S1=0，當n≥2時，Sn=f(
1
n
)+f(
2
n
)+f(
3
n
)+…+f(
n-1
n
)，設an=2Sn，Tn為數列{an}的前n項和，若存在正整數c，m，使得不等式
Tm-c
Tm+1-c
＜
1
2
成立，求c和m的值．
（3）在（2）的條件下，設bn=31-Sn，求所有可能的乘積bi•bj（1≤i≤j≤n）的和．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

已知A（x1，y1），B（x2，y2）是函數f(x)=
2x
1-2x
，x≠
1
2
-1，x=
1
2
的圖象上的任意兩點，點M在直線x=
1
2
上，且
AM
=
MB
．
（1）求x1+x2的值及y1+y2的值；
（2）已知S1=0，當n≥2時，Sn=f(
1
n
)+f(
2
n
)+f(
3
n
)+…+f(
n-1
n
)，設an=2Sn，Tn為數列{an}的前n項和，若存在正整數c，m，使得不等式
Tm-c
Tm+1-c
＜
1
2
成立，求c和m的值．
（3）在（2）的條件下，設bn=31-Sn，求所有可能的乘積bi•bj（1≤i≤j≤n）的和．

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同步練習冊答案
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