Question

如圖已知點P在圓柱OO₁的底面圓周上，AB為圓O的直徑，
（1）求證：BP⊥A₁P；
（2）若圓柱的體積為12π，OA=2，∠AOP=120°，求異面直線A₁B與AP所成角大小．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)圓柱的幾何特征及圓周角定理，我們易根據(jù)已知中點P在圓柱OO₁的底面圓周上，AB為圓O的直徑，得到AP⊥BP，AA₁⊥BP，結(jié)合線面垂直的判定定理得到BP⊥平面PAA₁后，易進一步得到BP⊥A₁P；
（2）延長PO交圓O于點Q，連接BQ，A₁Q，結(jié)合圓柱的體積為12π，OA=2，∠AOP=120°，我們易得∠A₁BQ即為異面直線A₁B與AP所成角，利用余弦定理求出其余弦值，即可得到答案．

解答：解：（1）證明：易知AP⊥BP，又由AA₁⊥平面PAB，得AA₁⊥BP，（2分）
從而BP⊥平面PAA₁，故BP⊥A₁P；（5分）
（2）解：延長PO交圓O于點Q，連接BQ，A₁Q，則BQ∥AP，得∠A₁BQ或它的補角為異面直線A₁B與AP所成的角．（7分）
由題意V=π•OA²•AA₁=4π•AA₁=12π，解得AA₁=3．（8分）
又BQ=2

3

，AQ=2，得A1Q=

13

，A₁B=5，（11分）
由余弦定理得cos∠A1BQ=

A1B2+BQ2-A1Q2

2A1B•BQ

=

2 3

5

＞0，（13分）
得異面直線A₁B與AP所成的角為arc cos

2 3

5

．（14分）

點評：本題考查的知識點是直線與平面垂直的性質(zhì)及異面直線及其所成的角，其中熟練掌握圓柱的幾何特征，并從中分析出相關直線之間的位置關系是解答本題的關鍵．