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己知橢圓的焦點在x軸上，它的一個焦點與拋物線x²=4y的焦點之間的距離為 $數學公式$ ，離心率e= $數學公式$ ，過橢圓的左焦點廠做一條與坐標軸不垂直的直線L交橢圓于A，B兩點．
（1）求橢圓的標準方程；
（2）設點M（m，0）是線段OF₁上的一個動點，且（ $數學公式$ + $數學公式$ ）⊥ $數學公式$ ，求m的取值范圍．

解：（1）拋物線的焦點為（0，1），設橢圓的右焦點（c，0 ），則由題意可得 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴c=2，∴再由離心率可得 a= $\text{[math]}$ ，b=1，故橢圓的標準方程為 $\text{[math]}$ =1．
（2）設直線l的方程為 y=k（x+2），代入橢圓的方程化簡可得（1+5k²）x²+20k²x-5=0，
∴x₁+x₂= $\text{[math]}$ ，x₁•x₂= $\text{[math]}$ ，
∴（ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ）=（x₁-m，y₁）+（x₂-m，y₂ ）=（x₁+x₂-2m，y₁+y₂ ）．
由（ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ）⊥ $\text{[math]}$ ，可得（ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ）• $\text{[math]}$ =（x₁+x₂-2m，y₁+y₂ ）•（x₂-x₁，y₂-y₁）
=（x₁+x₂-2m）（x₂-x₁）+（y₂+y₁）（y₂-y₁）=0，
化簡可得 x₁+x₂-2m+k²（x₁+x₂+4）=0，∴2m=4k²- $\text{[math]}$ ，
∴m=- $\text{[math]}$ =- $\text{[math]}$ ．∵k²＞0，∴0＜ $\text{[math]}$ ＜ $\text{[math]}$ ，
∴- $\text{[math]}$ ＜m＜0．故m的取值范圍是[- $\text{[math]}$ ，0）．
分析：（1）根據題意設橢圓的右焦點（c，0 ），則由題意可得 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，求出c值，由離心率可得 a，求出b值，即得橢圓的標準方程．
（2）設直線l的方程為 y=k（x+2），代入橢圓的方程化簡，把根與系數的關系代入（ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ）• $\text{[math]}$ =0，解得 m=- $\text{[math]}$ =- $\text{[math]}$ ，再利用不等式的性質求出m的取值范圍．
點評：本題考查求橢圓的標準方程，兩個向量的數量積公式，不等式的性質，求出m=- $\text{[math]}$ =- $\text{[math]}$ ，是解題的關鍵，
屬于中檔題．

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科目：高中數學 來源： 題型：

己知橢圓的焦點在x軸上，它的一個焦點與拋物線x²=4y的焦點之間的距離為

，離心率e=

，過橢圓的左焦點廠做一條與坐標軸不垂直的直線L交橢圓于A，B兩點．
（1）求橢圓的標準方程；
（2）設點M（m，0）是線段OF₁上的一個動點，且（

）⊥

，求m的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

給出下列5個命題：
①0＜a≤

是函數f（x）=ax²+2（a-1）x+2在區間（-∞，4]上為單調減函數的充要條件；
②如圖所示，“嫦娥探月衛星”沿地月轉移軌道飛向月球，在月球附近一點P進入以月球球心F為一個焦點的橢圓軌道I繞月飛行，之后衛星在P點第二次變軌進入仍以F為一個焦點的橢圓軌道II繞月飛行，最終衛星在P點第三次變軌進入以F為圓心的圓形軌道III繞月飛行，若用2C_l和2_c2分別表示摘圓軌道I和II的焦距，用2a₁和2a₂分別表示橢圓軌道I和II的長軸的長，則有c₁a₂＞a₁c₂；
③函數y=f（x）與它的反函數y=f^-1（x）的圖象若相交，則交點必在直線y=x上；
④己知函數f（x）=log_a（1-ax）在（O，1）上滿足，f′（x）＞0，貝U

1-a

＞1+a＞

；
⑤函數f（x）=

tan2x+

(1+i)2

tan2x+2

（x≠kπ+

），k∈Z，/為虛數單位）的最小值為2；
其中所有真命題的代號是

．

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科目：高中數學 來源： 題型：

己知命題p：方程