Question

如圖，四棱錐P-ABCD是底面邊長為1的正方形，PD⊥BC，PD=1，PC=

2

．
（Ⅰ）求證：PD⊥面ABCD；
（Ⅱ）設E是PD的中點，求證：PB∥平面ACE；
（Ⅲ）求三棱錐B-PAC的體積．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由ABCD是底面邊長為1的正方形，PD=1，PC=

2

，由勾股定理可證得PD⊥DC，又PD⊥BC，從而可證PD⊥面ABCD；
（Ⅱ）連接BD，與AC交于O點，OE為△PDB的中位線，從而OE∥PB，可證得PB∥平面ACE；
（Ⅲ）利用V_B-PAC=V_P-ABC即可求得三棱錐B-PAC的體積．

解答：證明：（Ⅰ）∵CD=1，PD=1，PC=

2

，由勾股定理可得，PC²=PD²+CD²，
∴PD⊥CD，BC∥AD，
∴PD⊥AD，又PD⊥BC，DC∩DA=D，
∴PD⊥面ABCD；
（Ⅱ）連接BD，與AC交于O點，連接OE，
∵E是PD的中點，O是BD的中點，
∴OE為△PDB的中位線，OE∥PB，
又OE?平面ACE，PB?平面ACE，
∴PB∥平面ACE；
（Ⅲ）∵PD⊥面ABCD，PD=1，底面ABCD是邊長為1的正方形，
∴V_B-PAC=V_P-ABC
=

1

3

×

1

2

×1×1×1
=

1

6

．

點評：本題考查直線與平面垂直與平行的判定，考查三棱錐的體積，考查勾股定理與體積輪換公式的應用，體現線線關系與線面關系轉化的化歸思想，屬于中檔題．