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設(shè)ab為常數(shù),M{f(x)|f(x)=acosx+bsinx}F:把平面上任意一點(diǎn)(ab)映射為函數(shù)acodx+bsinx

1證明:不存在兩個(gè)不同點(diǎn)對(duì)應(yīng)于同一個(gè)函數(shù);

2證明:當(dāng)f0(x)ÎM時(shí),f1(x)=f0(x+t)ÎM,這里t為常數(shù);

3對(duì)于屬于M的一個(gè)固定值f0(x),得M1={f0(x+t)tÎR},在映射F的作用下,M1作為象,求其原象,并說明它是什么圖像.

 

答案:
解析:

1證明:假設(shè)有兩個(gè)不同的點(diǎn)(ab)(cd)對(duì)應(yīng)同一函數(shù),即F(ab)=acosx+bsinxF(cd)=ccosx+dsinx相同,即acosx+bsinx=ccosx+dsinx對(duì)于一切實(shí)數(shù)x成立.令x=0,得a=c;令,得b=d這與(ab)(cd)是兩個(gè)不同點(diǎn)矛盾,設(shè)不成立.故不存在兩個(gè)不同點(diǎn)對(duì)應(yīng)同函數(shù).

2證明:當(dāng)f0(x)ÎM時(shí),可得常數(shù)a0b0,即f0(x)=a0cosx+b0sinx

f1(x)=f0(x+t)=a0cos(x+t)+b0sin(x+t)=(a0cost+b0sint)cosx+(b0cost-a0sint)sinx,因?yàn)?/span>a0a0t為常數(shù),設(shè)a0cost+b0sint=mb0cost-a0sint=n,則mn是常數(shù).所以f1(x)=mcosx+nsinxÎM

3解:當(dāng)f0(x)ÎM時(shí),由此得f0(x+t)=mcosx+nsinx,其中m=a0cost+b0sintn=b0cost-a0sint,在映射F之下,f0(x+t)的原象是(mn),則M1的原象是{(mn)|m=a0cost+b0sintn=b0cost-a0sinttÎR}.消去t,即在映射F之下,M1的原象{(mn)|m2+n2=}是以原點(diǎn)為圓心,為半徑的圓

 


練習(xí)冊(cè)系列答案
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設(shè)a、b為常數(shù),M={f(x)|f(x)=acosx+bsinx,x∈R};F:把平面上任意一點(diǎn)(a,b)映射為函數(shù)acosx+bsinx.
(1)證明:對(duì)F不存在兩個(gè)不同點(diǎn)對(duì)應(yīng)于同一個(gè)函數(shù);
(2)證明:當(dāng)f0(x)∈M時(shí),f1(x)=f0(x+t)∈M,這里t為常數(shù);
(3)對(duì)于屬于M的一個(gè)固定值f0(x),得M1={f0(x+t)|t∈R},若映射F的作用下點(diǎn)(m,n)的象屬于M1,問:由所有符合條件的點(diǎn)(m,n)構(gòu)成的圖形是什么?

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設(shè)ab為常數(shù),M{f(x)|f(x)=acosx+bsinx}F:把平面上任意一點(diǎn)(ab)映射為函數(shù)acodx+bsinx

1證明:不存在兩個(gè)不同點(diǎn)對(duì)應(yīng)于同一個(gè)函數(shù);

2證明:當(dāng)f0(x)ÎM時(shí),f1(x)=f0(x+t)ÎM,這里t為常數(shù);

3對(duì)于屬于M的一個(gè)固定值f0(x),得M1={f0(

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設(shè)a、b為常數(shù),M={f(x)|f(x)=acosx+bsinx};F:把平面上任意一點(diǎn)(a,b)映射為函數(shù)acosx+bsinx.

(1)證明:不存在兩個(gè)不同點(diǎn)對(duì)應(yīng)于同一個(gè)函數(shù);

(2)證明:當(dāng)f0(x)∈M時(shí),f1(x)=f0(x+t)∈M,這里t為常數(shù);

(3)對(duì)于屬于M的一個(gè)固定值f0(x),得M1={f0(x+t),t∈R},在映射F的作用下,M1作為象,求其原象,并說明它是什么圖象?

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設(shè)a、b為常數(shù),M={f(x)|f(x)=acosx+bsinx,x∈R};F:把平面上任意一點(diǎn)(a,b)映射為函數(shù)acosx+bsinx.
(1)證明:對(duì)F不存在兩個(gè)不同點(diǎn)對(duì)應(yīng)于同一個(gè)函數(shù);
(2)證明:當(dāng)f(x)∈M時(shí),f1(x)=f(x+t)∈M,這里t為常數(shù);
(3)對(duì)于屬于M的一個(gè)固定值f(x),得M1={f(x+t)|t∈R},若映射F的作用下點(diǎn)(m,n)的象屬于M1,問:由所有符合條件的點(diǎn)(m,n)構(gòu)成的圖形是什么?

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