Question

已知雙曲線c：

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的一個焦點與拋物線y²=4x的焦點重合，且雙曲線的離心率為

5

．
（1）求雙曲線的方程；
（2）若有兩個半徑相同的圓c₁，c₂，它們的圓心都在x軸上方且分別在雙曲線c的兩漸近線上，過雙曲線的右焦點且斜率為-1的直線l與圓c₁，c₂都相切，求兩圓c₁，c₂圓心連線斜率的范圍．

Answer 1

分析：（1）由拋物線y²=4x得焦點（1，0），得雙曲線的c=1．再利用離心率計算公式e=

c

a

=

5

，及a²+b²=c²，即可解得a，b；
（2）利用點斜式得直線l的方程為x+y-1=0．由（1）可得雙曲線的漸近線方程為y=±2x．進而可設圓c₁：（x-t）²+（y-2t）²=r²，圓c₂：（x-n）²+（y+2n）²=r²，其中t＞0，n＜0．
因為直線l與圓c₁，c₂都相切，利用點到直線的距離公式可得

|t+2t-1|

2

=

|n-2n-1|

2

，經過化簡可得n與t的關系，再利用斜率計算公式即可得出k=

2t+2n

t-n

，把n與t的關系代入即可得出k的取值方法．

解答：解：（1）由拋物線y²=4x得焦點（1，0），得雙曲線的c=1．
又e=

c

a

=

5

，a²+b²=c²，
解得a2=

1

5

，b2=

4

5

．
∴雙曲線的方程為5x2-

5

4

y2=1．
（2）直線l的方程為x+y-1=0．
由（1）可得雙曲線的漸近線方程為y=±2x．
由已知可設圓c₁：（x-t）²+（y-2t）²=r²，圓c₂：（x-n）²+（y+2n）²=r²，其中t＞0，n＜0．
因為直線l與圓c₁，c₂都相切，所以

|t+2t-1|

2

=

|n-2n-1|

2

，
得直線l與t+2t-1=n-2n-1，或t+2t-1=-n+2n+1，即n=-3t，或n=3t-2，
設兩圓c₁，c₂圓心連線斜率為k，則k=

2t+2n

t-n

，當n=-3t時，k=

2t-6t

4t

=-1；
當n=3t-2時，k=

2t+2n

t-n

=

4t-2

-t+1

，
∵t＞0，n＜0，∴0＜t＜

2

3

，故可得-2＜k＜2，
綜上：兩圓c₁，c₂圓心連線斜率的范圍為（-2，2）．

點評：本題綜合考查了雙曲線的標準方程及其性質、直線與圓相切、點到直線的距離公式、斜率計算公式等基礎知識與基本技能，考查了推理能力和計算能力．