Question

如圖，在三棱錐S-ABC中，底面ABC是邊長為4的正三角形，側面SAC⊥底面ABC，，M，N分別為AB，SB的中點．
（Ⅰ）求證：AC⊥SB；
（Ⅱ）求二面角N-CM-B的大�。�

Answer 1

解：（Ⅰ）取AC的中點O，連接OS，OB．
∵SA=SC，AB=BC，
∴AC⊥SO，AC⊥OB．
又∵平面SAC⊥平面ABC，且平面SAC∩平面ABC=AC，
∴SO⊥平面ABC．故SB在平面ABC內的射影為OB，
∴AC⊥SB．（6分）
（Ⅱ） 取OB的中點D，作NE⊥CM交CM于E，連接DE，ND．
在△SOB中，N，D分別為SB，OB的中點，
∴DN∥SO．
∵SO⊥平面ABC，
∴DN⊥平面ABC，∴DN⊥CM，∵NE⊥CM，∴CM⊥平面DNE
∴DE⊥CM．
故∠NED為二面角N-CM-B的平面角．（9分）
設OB與CM交于G，則G為△ABC的中心，
∴．
又∵DE⊥CM，BM⊥CM，

∴DE∥MB，∴．
在△SAC中可得，在△SOB中，，
在Rt△NDE中，．
∴．∴二面角N-CM-B的大小為．（14分）
（解法二）：（Ⅰ）取AC的中點O，連接OS，OB．
∵SA=SC，AB=BC，∴AC⊥SO，AC⊥OB．
又平面SAC⊥平面ABC，且平面SAC∩平面ABC=AC，
∴SO⊥平面ABC．
如圖所示建立空間直角坐標系O-xyz，
．
∴．
則，
∴AC⊥SB．（6分）

（Ⅱ）由（Ⅰ）得
設=（x，y，z）為平面CMN的一個法向量，
取z=1，得，∴．
又為平面ABC的法向量，
∴cos＜＞=．
∴二面角N-CM-B的大小為．（14分）
分析：（解法一）
（Ⅰ）由題意取AC的中點O，連接OS則SO⊥平面ABC，AC⊥SO；再由三垂線定理得AC⊥SB；
（Ⅱ）取OB的中點D，由SO⊥平面ABC和DN∥SO，得DN⊥平面ABC，作NE⊥CM交CM于E，
連接DE，再證DE⊥CM，則∠NED即為所求，在直角三角形中求解．
（解法二）
（Ⅰ）由題意建立空間直角坐標系，求得AC⊥SB；
（Ⅱ）因SO⊥平面ABC，則為平面ABC的法向量，求平面CMN的一個法向量，再求兩向量
夾角的余弦值．
點評：本題為一題多解的情況，一種是向量法，需要利用已有的垂直關系建立空間直角坐標系，向量的數量積來證垂直，求平面的法向量來求二面角的余弦值；另一種用垂直關系的定義和定理，三垂線定理來證明線線垂直、線面垂直，作出二面角O-AC-O₁的平面角．向量法要簡單些．