Question

已知f(x)=sin(x+

π

2

)，g（x）=sinx，下列選項正確的是（　　）

• A．函數y=f（x）g（x）的一個單調區間是[-

  π

  2

  ，

  π

  2

  ]
• B．函數y=f（x）+g（x）的最大值是2
• C．函數y=f（x）+g（x）的一個對稱中心是（-

  π

  4

  ，0）
• D．函數f（x）的一條對稱軸是x=

  π

  4

Answer 1

分析：利用三角函數的恒等變換化簡 y=f（x）g（x）和y=f（x）+g（x）的解析式，利用三角函數的對稱性、最值、單調性等得到答案．

解答：解：①∵f（x）=sin（x+

π

2

）=cosx，其對稱軸為 x+

π

2

=kπ，k∈z，故排除D．
②∵由于函數f（x）g（x）=sin(x+

π

2

)sinx=sinxcosx=

1

2

sin2x，由 2kπ-

π

2

≤2x≤2kπ+

π

2

，k∈z，可得其增區間為[kπ-

π

4

，kπ+

π

4

]；
 由 2kπ+

π

2

≤2x≤2kπ+

3π

2

，可得其減區間為[kπ+

π

4

，kπ+

3π

4

]，k∈z，故排除A．
③由于函數f（x）+g（x）=sin(x+

π

2

)+sinx=sinx+cosx=

2

sin(x+

π

4

)，其最大值為

2

，故排除B．
再由x+

π

4

=kπ，可得 x=kπ-

3π

4

，故其對稱中心為（kπ-

3π

4

，0），故C正確．
故選C．

點評：本小題考查誘導公式、三角函數的對稱性、最值、單調性等，屬于基礎題．