Question

第30屆奧運會將于2012年7月27日在倫敦舉行，當地某學校招募了8名男志愿者和12名女志愿者．將這20名志愿者的身高如下莖葉圖（單位：cm）：

男				女
		8	16	5	8	9
8	7	6	17	2	3	5	5	6
7	4	2	18	0	1	2
		1	19	0

若身高在180cm以上（包括180cm）定義為“高個子”，身高在180cm以下（不包括180cm）定義為“非高個子”，且只有“女高個子”才能擔任“禮儀小姐”．
（Ⅰ）用分層抽樣的方法從“高個子”和“非高個子”中抽取5人，如果從這5人中隨機選2人，那么至少有1人是“高個子”的概率是多少？
（Ⅱ）若從所有“高個子”中隨機選3名志愿者，用X表示所選志愿者中能擔任“禮儀小姐”的人數，試寫出X的分布列，并求X的數學期望．

Answer 1

解：（I）根據莖葉圖可知，這20名志愿者中有“高個子”8人，“非高個子”12人，用分層抽樣的方法從中抽出5人，則每個人被抽到的概率為，所以應從“高個子”中抽人，從“非高個子”中抽人．
用事件A表示“至少有一名‘高個子’被選中”，則它的對立事件表示“沒有一名‘高個子’被選中”，則，
因此至少有1人是“高個子”的概率是；
（II）依題意知，所選志愿者中能擔任“禮儀小姐”的人數X的所有可能為0，1，2，3．
，，，
因此，X的分布列如下：

X	0	1	2	3
P

所以X的數學期望
分析：（I）確定“高個子”，“非高個子”的人數，利用用分層抽樣的方法，可得每個人被抽中的概率，利用對立事件即可求解；
（Ⅱ）由于從所有“高個子”中選3名志愿者，用ξ表示所選志愿者中能擔任“禮儀小姐”的人數，利用離散型隨機變量的定義及題意可知ξ的取值為0，1，2，3，在利用古典概型的概率公式求出每一個值對應事件的概率，由期望的公式求出即可．
點評：本題主要考查莖葉圖、分層抽樣、隨機事件的概率、對立事件的概率、隨機變量的分布列以及數學期望等基礎知識，考查運用概率統計知識解決簡單實際問題的數據處理能力和應用意識．