Question

11．已知a為實數，f（x）=-x³+3ax²+（2a+7）x．
（1）若f'（-1）=0，求f（x）在[-2，2]上的最大值和最小值；
（2）若f（x）在（-∞，-2]和[3，+∞）上都遞減，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數的導數，根據f′（-1）=0，求出a的值，解關于導函數的不等式，求出函數的單調區間，從而求出函數的最值即可；
（2）根據f（x）在（-∞，-2]和[3，+∞）上都遞減，得到關于a的不等式組，解出即可．

解答 解：f′（x）=-3x²+6ax+2a+7．
（1）f′（-1）=-4a+4=0，所以a=1．…（2分）
f′（x）=-3x²+6x+9=-3（x-3）（x+1），
當-2≤x＜-1時，f′（x）＜0，f（x）單調遞減；
當-1＜x≤2時，f′（x）＞0，f（x）單調遞增，
又f（-2）=2，f（-1）=-5，f（2）=22，
故f（x）在[-2，2]上的最大值為22，最小值為-5．…（6分）
（2）由題意得x∈（-∞，-2]∪[3，+∞）時，f′（x）≤0成立，…（7分）
由f′（x）=0可知，判別式△＞0，所以
$\left\{\begin{array}{l}{-2≤a≤3}\\{f′（-2）≤0}\\{f′（3）≤0}\end{array}\right.$，解得：-$\frac{1}{2}$≤a≤1．
所以a的取值范圍為[-$\frac{1}{2}$，1]．…（12分）

點評 本題考查了函數的單調性、最值問題，考查導數的應用以及二次函數的性質，是一道中檔題．