Question

1．四棱錐P-ABCD的底面ABCD是邊長為1的菱形，∠BCD=60°，E是CD中點，PA⊥底面ABCD，PA=2．
（I）證明：平面PBE⊥平面PAB；
（II）求直線PC與平面PBE所成的角的正弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）連結BD，推導出BE⊥AB，BE⊥PA，從而BE⊥平面PAB，由此能證明平面PBE⊥平面PAB．
（Ⅱ）以E為原點，EB為x軸，EC為y軸，以過點E且垂直于平面ABCD的直線為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出直線PC與平面PBE所成的角的正弦值．

解答 證明：（Ⅰ）連結BD，
∵四棱錐P-ABCD的底面ABCD是邊長為1的菱形，∠BCD=60°，
∴BD=BC=DC=1，
∵E是CD中點，∴BE⊥DC，
∵AB∥DC，∴BE⊥AB，
∵PA⊥底面ABCD，BE?平面ABCD，
∴BE⊥PA，
∵PA∩AB=A，∴BE⊥平面PAB，
∵BE?平面PAB，∴平面PBE⊥平面PAB．
解：（Ⅱ）以E為原點，EB為x軸，EC為y軸，以過點E且垂直于平面ABCD的直線為z軸，
建立空間直角坐標系，
則P（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，-1，2），C（0，$\frac{1}{2}$，0），B（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，0，0），E（0，0，0），
$\overrightarrow{PC}$=（-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{3}{2}$，-2），$\overrightarrow{EB}$=（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，0，0），$\overrightarrow{EP}$=（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，-1，2），
設平面PBE的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{EB}=\frac{\sqrt{3}}{2}x=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{EP}=\frac{\sqrt{3}}{2}x-y+2z=0}\end{array}\right.$，取z=1，得$\overrightarrow{n}$=（0，2，1），
設直線PC與平面PBE所成的角為θ，
則sinθ=$\frac{|\overrightarrow{PC}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{PC}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1}{\sqrt{7}•\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{35}}{35}$．
∴直線PC與平面PBE所成的角的正弦值為$\frac{\sqrt{35}}{35}$．

點評 本題考查面面垂直的證明，考查線面角的正弦值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．