Question

已知函數f（x）=ax²+bx+1+lnx．
（Ⅰ）當a=b=-1時，求f（x）的單調遞增區間和極值；
（Ⅱ）若f（x）在x=1，和x=

1

2

處取得極值．（1）求f（x）的解析式；（2）若在[

1

4

，2]上存在x₀，使得f（x₀）≤m恒成立，求m的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）求導函數，利用導數的正負，可得函數的單調區間，從而可得函數的極值；
（II）（1）根據f（x）在x=1，和x=

1

2

處取得極值，建立方程組，從而可得函數解析式；
（2）確定函數的極大值，從而可得函數的最值，即可求m的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）當a=b=-1時，f′(x)=-2x-1+

1

x

=-

(2x-1)(x+1)

x

…（2分）
由于x＞0，由f′（x）＞0即

(2x-1)(x+1)

x

＜0，可得0＜x＜

1

2

∴f（x）的單調遞增區間為(0，

1

2

)，
又函數的單調減區間是（

1

2

，+∞）（4分）
∴f(x)極大值=f(

1

2

)=

1

4

-ln2，f（x）無極小值…（6分）
（Ⅱ）（1）f′（x）=

2ax2+bx+1

x

…（7分）
∵f（x）在x=1，和x=

1

2

處取得極值
∴f′(1)=f′(

1

2

)=0…（8分）
∴

2a+b+1=0 a+b+2=0

∴a=1，b=-3
∴f（x）的解析式是f（x）=x²-3x+1+lnx…（9分）
（2）由（1）得f′(x)=

(2x-1)(x+1)

x

．
∴當x∈[

1

4

，

1

2

]時，f′（x）＞0，故f（x）在[

1

4

，

1

2

]單調遞增．
x∈[

1

2

，1]時，f′（x）＜0，故f（x）在[

1

2

，1]單調遞減
x∈[1，2]時，f′（x）＞0，故f（x）在[1，2]上單調遞增…（11分）
∴f(x)極大值=f(

1

2

)=

1

4

-ln2…（12分）
而f（2）=-1+in2
∵f(2)-f(

1

2

)=-

3

4

+ln4＞0
∴f（x）_max=-1+ln2，…（13分）
∴m≥-1+ln2…（14分）

點評：本題考查導數知識的運用，考查函數的單調性與極值，考查函數的最值，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．