Question

（本題滿分12分）已知圓x²+y²+x－6y+m=0和直線x+2y－3=0交于P、Q兩點．
(Ⅰ)求實數m的取值范圍；
(Ⅱ)求以PQ為直徑且過坐標原點的圓的方程．

Answer 1

解：(Ⅰ)
（法一）圓C：，圓心，半徑
圓心到直線的距離，得；（4分）
（法二）由，有，得m<8；（或者聯立得）（4分）
(Ⅱ)設P(x₁,y₁), Q(x₂,y₂)，由 
∴
由于以PQ為直徑的圓過原點，∴OP⊥OQ， ∴x₁x₂+y₁y₂=0，
而x₁x₂=9－6(y₁+y₂)+4y₁y₂=，∴  解得m=3．（8分）
故P(1,1), Q(－3,3)，圓的方程為，即．（12分）
（法二）設過PQ的圓的方程為
∴，
即
∵圓過原點，∴，又以PQ為直徑，則取最小值，此時，故m=3，圓的方程為，即．（12分）

略