Question

已知函數f（x）=4x³+3tx²-6t²x+t-1，x∈R，其中t∈R．
（1）當t=1時，求曲線y=f（x）在點（0，f（0））處的切線方程；
（2）當t≠0時，求f（x）的單調區間．

Answer 1

分析：（1）當t=1時，求出函數f（x），利用導數的幾何意義求出x=0處的切線的斜率，利用點斜式求出切線方程；
（2）根據f'（0）=0，解得x=-t或x=

t

2

，討論t的正負，在函數的定義域內解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0求出單調區間即可．

解答：解：（1））當t=1時，f（x）=4x³+3x²-6x，f（0）=0，f'（x）=12x²+6x-6（2分）f'（0）=-6．所以曲線y=f（x）在點（0，f（0））處的切線方程為y=-6x．（4分）
（2）解：f'（x）=12x²+6tx-6t²，令f'（x）=0，解得x=-t或x=

t

2

．（5分）
因為t≠0，以下分兩種情況討論：
（i）若t＜0，則t＜0，則

t

2

＜-t，當x變化時，f'（x），f（x）的變化情況如下表：

x	(-∞， t 2 )	( t 2 ，-t)	（-t，+∞）
f'（x）	+	-	+
f（x）	↑	↓	↑

所以，f（x）的單調遞增區間是(-∞，

t

2

)，(-t，+∞)；f(x)的單調遞減區間是(

t

2

，-t)．   （8分）
（ii）若t＞0，則-t＜

t

2

，當x變化時，f'（x），f（x）的變化情況如下表：

x	（-∞，t）	(-t， t 2 )	( t 2 ，+∞)
f'（x）	+	-	+
f（x）	↑	↓	↑

所以，f（x）的單調遞增區間是(-∞，-t)，(

t

2

，+∞)；f(x)的單調遞減區間是(-t，

t

2

)．（12分）

點評：本題主要考查了導數的幾何意義，利用導數研究函數的單調性、曲線的切線方程、函數零點、解不等式等基礎知識，考查了計算能力和分類討論的思想．