Question

4．已知四棱錐P-ABCD的底面為平行四邊形，PD⊥平面ABCD，M在邊PC上
（Ⅰ）當M在邊PC上什么位置時，AP∥平面MBD？并給出證明．
（Ⅱ）在（Ⅰ）條件之下，若AD⊥PB，求證：BD⊥平面PAD．

Answer 1

分析 （Ⅰ）M是PC中點時，AC與BD的交點O是AC的中點，從而OM∥PA，由此能證明AP∥平面MBD．
（Ⅱ）推導出PD⊥AD，AD⊥BD，PD⊥BD，由此能證明BD⊥平面PAD．

解答 解：（Ⅰ）M是PC中點時，AP∥平面MBD．
證明：∵底面ABCD是平行四邊形，
∴AC與BD的交點O是AC的中點，
又M是PC的中點，∴OM∥PA，
∵OM?平面MBD，AP?平面MBD，
∴AP∥平面MBD．
證明：（Ⅱ）∵PD⊥平面ABCD，AD?平面ABCD，∴PD⊥AD，
又AD⊥PB，PD∩PB=P，∴AD⊥平面PBD，∴AD⊥BD，
∵PD⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，
∴PD⊥BD，
∵PD∩AD=D，∴BD⊥平面PAD．

點評 本題考查滿足線面平行的點的位置的確定與證明，考查線面垂直的證明，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養．