Question

已知點F是拋物線y²=6x的焦點，拋物線內有一定點A（2，3），P是拋物線上的一動點，要使△PAF的周長最小，則點P的坐標是________．

Answer 1

（，3）
分析：由題意可求得F（，0），設點P在拋物線y²=6x的準線上的射影為M，利用拋物線的定義可知|PF|=|PM|，要使△PAF的周長最小，只需|PM|+|PA|最小即可，而M，P，A三點共線時可滿足，從而可求得點P的坐標．
解答：解：∵拋物線y²=6x的焦點F（，0），
設點P在拋物線y²=6x的準線上的射影為M，則|PF|=|PM|，
∴△PAF的周長l=|PF|+|PA|+|AF|=|PM|+|PA|+|AF|，
∴M，P，A三點共線時|PM|+|PA|=|AM|，△PAF的周長l最小；
又點A（2，3），
∴點P的縱坐標為y_P=3，又P是拋物線y²=6x的一點，
∴點P的橫坐標x_P=．
∴點P的坐標為（，3）．
故答案為：（，3）．
點評：本題考查拋物線的簡單性質，著重考察拋物線的定義的應用，突出考查轉化思想的運用，屬于中檔題．