Question

已知函數f(x)=log3

3x

1-x

．
（1）證明函數f（x）的圖象關于點(

1

2

，1)對稱；
（2）若Sn=f(

1

n

)+f(

2

n

)+…+f(

n-1

n

)(n∈N+，n≥2)，求S_n；
（3）在（2）的條件下，若an=

1，n=1 1 (Sn+1)(Sn+1+1) ，n≥2

（n∈N₊），T_n為數列{a_n}的前n項和，若T_n＜mS_n+2對一切n∈N₊都成立，試求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）確定函數f(x)=log3

3x

1-x

的定義域，設M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂）是函數y=f（x）圖象上的兩點，其中x₁，x₂∈（0，1）且x₁+x₂=1，證明f（x₁）+f（x₂）=2即可；
（2）由（1）知當x₁+x₂=1時，f（x₁）+f（x₂）=2，將條件倒序，再相加，即可求S_n；
（3）利用裂項法求數列的和，將T_n＜mS_n+2對一切n∈N₊都成立，轉化為2m＞

3n+1

n2+2n+1

恒成立，確定右邊的最大值，即可得到m的取值范圍．

解答：（1）證明：因為函數f(x)=log3

3x

1-x

的定義域為（0，1），
設M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂）是函數y=f（x）圖象上的兩點，其中x₁，x₂∈（0，1）且x₁+x₂=1，
則有y1+y2=f(x1)+f(x2)=log3

3x1

1-x1

+log3

3x2

1-x2

=log3

9x1x2

1-(x1+x2)+x1x2

=2
因此函數圖象關于點(

1

2

，1)對稱             …（4分）
（2）解：由（1）知當x₁+x₂=1時，f（x₁）+f（x₂）=2
由Sn=f(

1

n

)+f(

2

n

)+…+f(

n-1

n

)①，可得Sn=f(

n-1

n

)+f(

n-2

n

)+…f(

2

n

)+f(

1

n

)  ②
①+②得S_n=n-1…（8分）
（3）解：當n≥2時，an=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

當n=1時，a₁=1，T₁=1
當n≥2時，Tn=1+(

1

2

-

1

3

)+(

1

3

-

1

4

)+…+(

1

n

-

1

n+1

)═

3

2

-

1

n+1

=

3n+1

2(n+1)

∴Tn=

3n+1

2(n+1)

（n∈N₊）
又T_n＜mS_n+2對一切n∈N₊都成立，即

3n+1

2(n+1)

＜m(n+1)恒成立
∴2m＞

3n+1

n2+2n+1

恒成立，
又設f(n)=

3n+1

n2+2n+1

，f′(n)=

1-3n

(n+1)3

＜0，所以f（n）在n∈N₊上遞減，所以f（n）在n=1處取得最大值1
∴2m＞1，即m＞

1

2

所以m的取值范圍是(

1

2

，+∞)…（12分）

點評：本題考查函數的對稱性，考查數列的求和，考查裂項法，考查恒成立問題，分離參數，確定函數的最值時關鍵．