Question

若函數f（x）=x³-ax（a＞0）的零點都在區間[-10，10]上，則使得方程f（x）=1000有正整數解的實數a的取值個數為（　　）

• A、1
• B、2
• C、3
• D、4

Answer 1

分析：由題意根據函數f（x）=x³-ax（a＞0）的零點都在區間[-10，10]上可得a的范圍，然后對f（x）進行求導，求出函數在區間[-10，10]上的最大值，然后再進行判斷．

解答：解：∵函數f（x）=x³-ax（a＞0）的零點都在區間[-10，10]上，
又f（x）=x³-ax=x（x²-a）=0，令f（x）=0，
∴x=0或x=±

a

，
函數f（x）=x³-ax（a＞0）的零點都在區間[-10，10]上
∴

a

≤10∴a≤100
∵f'（x）═3x²-a，令f（x）′=0，
解得x=±

a 3

，
∴當x＞

a 3

或x＜-

a 3

時，f（x）′＞0，為增函數；
當-

a 3

＜x＜

a 3

時，f（x）′＜0，為減函數；
∴當x=-

a 3

時，有極大值，f（-

a 3

）=(- 

a 3

) 3-a×（-

a 3

）=

2a a

3 3

≤

2000

3 3

，
∵

2000

3 3

＜1000，f（10）=1000-10a＜1000，結合函數的單調性f（x）=x³-ax（a＞0）
知方程f（x）=1000有正整數解在區間[10，+∞）上，此時令x³-ax=1000，可得x2-a=

1000

x

此時有a=x2-

1000

x

，由于x為大于10的整數，由上知x2-

1000

x

≤100，令x=11，12，13時，不等式成立，
當x=14時，有142-

1000

14

=196-71

6

14

＞100
故可得a的值有三個，
應選C．

點評：此題考查函數的零點與方程根的關系，解題的關鍵是求出f（x）在區間[-10，10]上的值域，是一道好題．