Question

如圖，CB是⊙O的直徑，AP是⊙O的切線，AP與CB的延長線交于點P，A為切點．若PA=10，PB=5，∠BAC的平分線AE與BC和⊙O分別交于點D、E，則AD•DE的值為（ ）

A．50
B．
C．96
D．100

Answer 1

【答案】分析：先根據∠PAB=∠ACP以及∠P公用，得到△PAB∽△PCA，進而求出 =，再根據切割線定理得到PA²=PB•PC；結合前面求出的結論以及角平分線定理求出CD，DB．再結合條件得到△CDE∽△ADB，進而求出結果．
解答：解：連接CE，∵PA為⊙O的切線，
∴∠PAB=∠ACP，…（1分）
又∠P公用，∴△PAB∽△PCA．…（2分）
∴=，…（3分）
∵PA為⊙O的切線，PBC是過點O的割線，
∴PA²=PB•PC．…（5分）
又∵PA=10，PB=5，∴PC=20，BC=15．…（6分）
又知，=，
∵BC是⊙O的直徑，
∴∠CAB=90°．
∴AC²+AB²=BC²=225，
∴AC=6 ，AB=3 ，CD=10，DB=5…（7分）
連接CE，則∠ABC=∠E，…（8分）
又∠CDE=∠ADB，
∴△CDE∽△ADB，
∴…（9分）
∴AD•DE=DB•CD=5×10=50．…（10分）
故選A．
點評：本題主要考查與圓有關的比例線段、相似三角形的判定及切線性質的應用．屬于基礎題．