Question

設函數f(x)=(x2-20x+c1)(x2-20x+c2)…(x2-20x+c10)，集合M={x|f（x）=0}={x₁，x₂，…，x₁₉}⊆N^*，設c₁≥c₂≥…≥c₁₀，則c₁-c₁₀=（　　）

A．83

B．85

C．79

D．81

Answer 1

分析：根據已知M={x|f（x）=0}={x₁，x₂，…，x₁₉}⊆N^*，可得函數f(x)=(x2-20x+c1)(x2-20x+c2)…(x2-20x+c10)，共有19個零點，結合韋達定理可得x_n=n，1≤n≤19，n∈N^*，
結合c₁≥c₂≥…≥c₁₀，求出c₁，c₁₀，代入c₁-c₁₀可得答案．

解答：解：∵函數f(x)=(x2-20x+c1)(x2-20x+c2)…(x2-20x+c10)，
∵M={x|f（x）=0}={x₁，x₂，…，x₁₉}⊆N^*，
令0＜x₁＜x₂＜…＜x₁₉，
則由韋達定理可得
x₁+x₁₉=x₂+x₁₈=…=x₁₀+x₁₀=20
則x₁₉＜20
故x_n=n，1≤n≤19，n∈N^*，
∴x₁•x₁₉＜x₂•x₁₈＜…＜x₁₀•x₁₀，
又∵c₁≥c₂≥…≥c₁₀，
∴c₁₀=x₁•x₁₉=19，c₁=x₁₀•x₁₀=100
即c₁-c₁₀=100-19=81
故選D

點評：本題考查的知識點是一元二次方程的根的分布與系數的關系（韋達定理），函數的零點與方程的根的關系，其中根據已知得到x_n=n，1≤n≤19，n∈N^*，是解答的關鍵．