Question

（本題滿分14分）已知橢圓經過點，離心率為．

（1）求橢圓的方程；

（2）直線與橢圓交于兩點，點是橢圓的右頂點．直線與直線分別與軸交于點，試問以線段為直徑的圓是否過軸上的定點？若是，求出定點坐標；若不是，說明理由．

Answer 1

（1）；（2）

【解析】

試題分析：（1）由題意得，解得，，進而求出橢圓的方程．

（2）以線段為直徑的圓過軸上的定點，由得．

設，則有，，進而可得點，可知直線的方程為，故點；直線的方程為，故點，

若以線段為直徑的圓過軸上的定點，則等價于恒成立．即可得到．解得，進而可得以線段為直徑的圓過軸上的定點．

試題解析：【解析】
（1）由題意得，解得，．

所以橢圓的方程是． 4分

（2）以線段為直徑的圓過軸上的定點.

由得．

設，則有，．6分

又因為點是橢圓的右頂點，所以點．

由題意可知直線的方程為，故點．

直線的方程為，故點． 8分

若以線段為直徑的圓過軸上的定點，則等價于恒成立． 9分

又因為，，

所以恒成立．

又因為，

，

所以．解得．

故以線段為直徑的圓過軸上的定點． 14分

考點：1.橢圓的方程；2.直線與橢圓的位置關系．