Question

函數f(x)=

2 sin(x+ π 4 )+2x2+x

2x2+cosx

的最大值和最小值分別為M，m，則M+m=

2

．

Answer 1

分析：先利用兩角和的正弦公式化簡已知函數解析式，將其分解為常數1加一個奇函數，再利用奇函數的對稱性即可得f（x）最大值與最小值的和

解答：解：∵

2

sin（x+

π

4

）=

2

[

2

2

sinx+

2

2

cosx]=sinx+cosx
∴f(x)=

2 sin(x+ π 4 )+2x2+x

2x2+cosx

=

2x2+x+sinx+cosx

2x2+cosx

=1+

x+sinx

2x2+cosx

設g（x）=

x+sinx

2x2+cosx

，
∵g（-x）=

-x-sinx

2x2+cosx

=-g（x）
∴g（x）為奇函數，
∴函數g（x）的最大值與最小值之和為0，
∴函數f（x）的最大值和最小值之和M+m=1+1+0=2
故答案為 2

點評：本題考查了奇函數的定義及其判斷方法，奇函數圖象的對稱性及其應用，三角變換公式的運用，將已知函數分解出一個奇函數是解決問題的關鍵