【題目】設
，
，
，其中e為自然對數的底數（
）.
（1）當
時，求
在
處的切線方程；
（2）設
，求
的單調區間；
（3）當
時，
恒成立，求a的取值范圍.
【答案】（1）
；（2）答案見解析；（3）
.
【解析】
（1）當
時，先求函數的導數，利用導數的幾何意義求切線方程；
（2）先求函數
的導數
，然后分
和
討論求函數的單調性；（3）首先求函數的導數
，討論當，由函數的單調性判斷函數的最大值說明
恒成立，當時，令
，則
，分
，
兩種情況討論函數的單調性，并判斷函數的最值，說明
的取值范圍.
解：（1）當時，
，
，
，
，
所以
在
處的切線方程為
，即.
（2）
.
①當時，
，所以當
時，
；當
時，
；
②當時，令
得
，
.
ⅰ.若
，即
時，則
恒成立，
所以單調增區間為
.
ⅱ.若
，即
時，即或
；
即
，
所以單調增區間為
和
，單調減區間為
.
ⅲ.若
，即
時，即
或，即
，所以單調增區間為
和
，單調減區間為
.
（3）.
①若
時，則
在
時恒成立，所以
在
上單調遞減，所以當時，
，所以時，恒成立.
②若
時，令，則，
ⅰ.當時，即時，
，所以
單調遞減，所以
，即，
所以單調遞減，所以當時，恒成立.
ⅱ.當時，令
，則
，當
時，
，單調遞減；當
時，
，單調遞增.
因為在
上單調遞增且
，
所以
，所以在
上
，所以
，所以單調遞增，
所以當
時，
，不滿足條件.
所以a的取值范圍是.
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】小趙和小王約定在早上
至
之間到某公交站搭乘公交車去上學，已知在這段時間內，共有
班公交車到達該站，到站的時間分別為
，，如果他們約定見車就搭乘，則小趙和小王恰好能搭乘同一班公交車去上學的概率為__________．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
，四點
，
，
，
中恰有三個點在橢圓C上，左、右焦點分別為F1、F2．
（1）求橢圓C的方程；
（2）過左焦點F1且不平行坐標軸的直線l交橢圓于P、Q兩點，若PQ的中點為N，O為原點，直線ON交直線x＝﹣3于點M，求
的最大值．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】(本小題滿分12分)已知圓
，圓
，動圓
與圓
外切并且與圓
內切，圓心的軌跡為曲線
．
（Ⅰ）求的方程；
（Ⅱ）
是與圓，圓都相切的一條直線，與曲線交于
，
兩點，當圓的半徑最長時，求
．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在平面直角坐標系
中，已知曲線
的參數方程為
為參數），以坐標原點
為極點，
軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線
的極坐標方程為
．曲線
的極坐標方程為
，曲線與曲線的交線為直線
．
（1）求直線和曲線的直角坐標方程；
（2）直線與軸交于點
，與曲線相交于
，
兩點，求
的值．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，三棱臺ABC—DEF中，平面ACFD⊥平面ABC，∠ACB=∠ACD=45°，DC =2BC．
（I）證明：EF⊥DB；
（II）求DF與面DBC所成角的正弦值．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知O為原點，拋物線
的準線與y軸的交點為H，P為拋物線C上橫坐標為4的點，已知點P到準線的距離為5.
（1）求C的方程；
（2）過C的焦點F作直線l與拋物線C交于A，B兩點，若以AH為直徑的圓過B，求
的值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，在四棱錐
中，底面ABCD為直角梯形，AB//CD，
是以
為斜邊的等腰直角三角形，且平面
平面ABCD，點F滿足，
.
（1）試探究
為何值時，CE//平面BDF，并給予證明；
（2）在（1）的條件下，求直線AB與平面BDF所成角的正弦值.
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