Question

四棱錐S-ABCD的底面是正方形，SD⊥平面ABCD，SD=AD=a．
（I）若M是底面ABCD的一個動點，且滿足|MB|=|MS|，求點M在正方形ABCD內的軌跡；
（II）試問在線段SD上是否存在點E，使二面角C-AE-D的大小為60°？若存在，確定點E的位置；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：由題設條件及圖形，本題中出現了同一點出發的三個線段兩兩垂直，故可以建立空間坐標系，利用向量解決問題，以D為原點，

DA

、

DC

、

DS

的方向分別為x、y、z軸的正方向建立空間直角坐標系，給出各點的坐標
（1）設M（x，y，0），則由|MB|=|MS|得

(x-a)2+(y-a)2

=

x2+y2+a2

，整理即可得到點M在正方形ABCD內的軌跡；
（2）假設存在，設

DE

=λ

DS

(0≤λ≤1)，

DC

=（0，a，0）為平面ADE的一個法向量，設平面ACE的一個法向量為

n

=（x，y，z），用引入的參數λ表示出平面ACE的一個法向量為

n

，
再由二面角的大小是60°，建立方程求出參數λ的值，然后根據參數的值的范圍確定出點E的位置，

解答：解：（1）以D為原點，

DA

、

DC

、

DS

的方向分別為x、y、z軸的正方向建立空間直角坐標系，
則B（a，a，0），S（0，0，a），…（2分）
設M（x，y，0），則由|MB|=|MS|得

(x-a)2+(y-a)2

=

x2+y2+a2

…（4分）
化簡得x+y-

a

2

=0，所以點M在正方形ABCD內的軌跡為△ACD平行于邊AC的中位線．…（6分）
（2）假設存在，設

DE

=λ

DS

(0≤λ≤1)，

DC

=（0，a，0）為平面ADE的一個法向量…（8分）
設平面ACE的一個法向量為

n

=（x，y，z），則

n

•

EA

=0，

n

•

EC

=0
即

x-λz=0 y-λz=0

，取z=1，得

n

=（λ，λ，1），…（10分）
所以cos600=

| DC • n |

| DC |•| n |

=

|λ|

2λ2+1

，又0≤λ≤1，解得λ=

2

2

，
故在線段SD上存在點E，

DE

=

2

2

DS

，使二面角C-AE-D的大小為60⁰．…（13分）

點評：本題考查與二面角有關的立體幾何證明題，解題的關鍵是熟練掌握二面角的平面角的做法以及用向量法求二面角的步驟，向量中的方程與立體幾何中位置關系的對應，如數量積為0與垂直的對應，向量的共線與平行的對應，向量夾角與線線角，線面角，面面角的對應，本題考查了數形結合的思想，轉化的思想，方程的思想，考查了待定系數建立方程的技巧，用向量解決立體幾何問題的方法，本題知識性綜合性強，考查空間想像能力，推理判斷能力及轉化的能力，本題運算量大，且多是符號運算，解題時要嚴謹．