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【題目】已知動圓在圓外部且與圓相切,同時還在圓內部與圓相切.

1)求動圓圓心的軌跡方程;

2)記(1)中求出的軌跡為軸的兩個交點分別為上異于的動點,又直線軸交于點,直線分別交直線兩點,求證:為定值.

【答案】(1);(2)詳見解析.

【解析】

(1)由直線與圓相切,則,則點的軌跡是以為焦點的橢圓,即可求得橢圓方程;

(2)方法一:設,分別求得直線的方程,直線的方程,分別求得點的坐標,則,即可求得為定值;
方法二:設直線的斜率為,直線的斜率為,聯立直線的方程與直線的方程,求出點坐標,將點坐標代入橢圓方程,即可求得為定值.

(1)設動圓的半徑為,由已知得

點的軌跡是以為焦點的橢圓,

設橢圓方程:),則,則

方程為:

(2)解法一:設 ,由已知得 ,則

直線的方程為:

直線的方程為:

時,

滿足

為定值.

解法二:由已知得,設直線的斜率為,直線的斜率為,由已知得,存在且不為零,

直線的方程為:

直線的方程為:

時,

,

聯立直線和直線的方程,可得點坐標為

點坐標代入橢圓方程中,得

整理得

為定值.

練習冊系列答案
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組別

頻數

25

150

200

250

225

100

50

(1)由頻數分布表可以認為,此次問卷調查的得分服從正態分布近似為這1000人得分的平均值(同一組數據用該組區間的中點值作為代表),請利用正態分布的知識求

(2)在(1)的條件下,文明辦為此次參加問卷調查的市民制定如下獎勵方案:

(i)得分不低于的可以獲贈2次隨機話費,得分低于的可以獲贈1次隨機話費;

(ii)每次獲贈的隨機話費和對應的概率為:

獲贈的隨機話費(單位:元)

20

40

概率

現市民小王要參加此次問卷調查,記(單位:元)為該市民參加問卷調查獲贈的話費,求的分布列及數學期望.

附:①

②若,則.

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甲、乙兩單位都要在該廠購買箱這種零件,兩單位都選擇方案②,且各自達成的成交價格相互獨立,求甲單位優惠比例不低于乙單位優惠比例的概率;

某單位需要這種零件箱,以購買總價的數學期望為決策依據,試問該單位選擇哪種優惠方案更劃算?

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(2)若直線經過點(04),且與圓E相交所得的弦長為,求直線的方程;

(3)在圓E上是否存在點P,滿足,若存在,求出點P的坐標;若不存在,請說明理由.

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