【題目】已知動圓在圓
:
外部且與圓
相切,同時還在圓
:
內部與圓
相切.
(1)求動圓圓心的軌跡方程;
(2)記(1)中求出的軌跡為,
與
軸的兩個交點分別為
、
,
是
上異于
、
的動點,又直線
與
軸交于點
,直線
、
分別交直線
于
、
兩點,求證:
為定值.
【答案】(1);(2)詳見解析.
【解析】
(1)由直線與圓相切,則,則
點的軌跡是以
,
為焦點的橢圓,即可求得橢圓方程;
(2)方法一:設,分別求得直線
的方程,直線
的方程,分別求得點
和
的坐標,則
,即可求得
為定值;
方法二:設直線的斜率為
,直線
的斜率為
,聯立直線
的方程與直線
的方程,求出點
坐標,將點
坐標代入橢圓方程,即可求得
,
為定值.
(1)設動圓的半徑為
,由已知得
,
,
,
點的軌跡是以
,
為焦點的橢圓,
設橢圓方程:(
),則
,
,則
,
方程為:;
(2)解法一:設 ,由已知得
,
,則
,
,
直線的方程為:
,
直線的方程為:
,
當時,
,
,
,
又滿足
,
,
為定值.
解法二:由已知得,
,設直線
的斜率為
,直線
的斜率為
,由已知得,
,
存在且不為零,
直線
的方程為:
,
直線的方程為:
,
當時,
,
,
,
聯立直線和直線
的方程,可得
點坐標為
,
將點坐標代入橢圓方程
中,得
,
即,
整理得 ,
,
,
為定值.
科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】已知數列{an}的前n項和為Sn,滿足Sn=2an-1(n∈N*),數列{bn}滿足nbn+1-(n+1)bn=n(n+1)(n∈N*),且b1=1.
(1)證明數列{}為等差數列,并求數列{an}和{bn}的通項公式;
(2)若cn=(-1)n-1,求數列{cn}的前n項和T2n;
(3)若dn=an,數列{dn}的前n項和為Dn,對任意的n∈N*,都有Dn≤nSn-a,求實數a的取值范圍.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】為了迎接2019年全國文明城市評比,某市文明辦對市民進行了一次文明創建知識的網絡問卷調查.每一位市民有且僅有一次參加機會,通過隨機抽樣,得到參加問卷調查的1000人的得分(滿分:100分)數據,統計結果如下表所示:
組別 | |||||||
頻數 | 25 | 150 | 200 | 250 | 225 | 100 | 50 |
(1)由頻數分布表可以認為,此次問卷調查的得分服從正態分布
,
近似為這1000人得分的平均值(同一組數據用該組區間的中點值作為代表),請利用正態分布的知識求
;
(2)在(1)的條件下,文明辦為此次參加問卷調查的市民制定如下獎勵方案:
(i)得分不低于的可以獲贈2次隨機話費,得分低于
的可以獲贈1次隨機話費;
(ii)每次獲贈的隨機話費和對應的概率為:
獲贈的隨機話費(單位:元) | 20 | 40 |
概率 |
現市民小王要參加此次問卷調查,記(單位:元)為該市民參加問卷調查獲贈的話費,求
的分布列及數學期望.
附:①;
②若,則
,
,
.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】已知點是拋物線
上一點,
為
的焦點.
(1)若,
是
上的兩點,證明:
,
,
依次成等比數列.
(2)過作兩條互相垂直的直線與
的另一個交點分別交于
,
(
在
的上方),求向量
在
軸正方向上的投影的取值范圍.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】某廠銷售部以箱為單位銷售某種零件,每箱的定價為元,低于
箱按原價銷售,不低于
箱則有以下兩種優惠方案:①以
箱為基準,每多
箱送
箱;②通過雙方議價,買方能以優惠
成交的概率為
,以優惠
成交的概率為
.
甲、乙兩單位都要在該廠購買
箱這種零件,兩單位都選擇方案②,且各自達成的成交價格相互獨立,求甲單位優惠比例不低于乙單位優惠比例的概率;
某單位需要這種零件
箱,以購買總價的數學期望為決策依據,試問該單位選擇哪種優惠方案更劃算?
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】已知離心率為2的雙曲線的一個焦點
到一條漸近線的距離為
.
(1)求雙曲線的方程;
(2)設分別為
的左右頂點,
為
異于
一點,直線
與
分別交
軸于
兩點,求證:以線段
為直徑的圓
經過兩個定點.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標系中,MBC頂點的坐標為A(-1,2),B(1,4),C(3,2).
(1)求ΔABC外接圓E的方程;
(2)若直線經過點(0,4),且與圓E相交所得的弦長為
,求直線
的方程;
(3)在圓E上是否存在點P,滿足,若存在,求出點P的坐標;若不存在,請說明理由.
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