Question

如圖，AB是沿太湖南北方向道路，P為太湖中觀光島嶼，Q為停車場，PQ=5.2km．某旅游團游覽完島嶼后，乘游船回停車場Q，已知游船以13km/h的速度沿方位角θ的方向行駛，．游船離開觀光島嶼3分鐘后，因事耽擱沒有來得及登上游船的游客甲為了及時趕到停車地點Q與旅游團會合，立即決定租用小船先到達湖濱大道M處，然后乘出租汽車到點Q（設游客甲到達湖濱大道后能立即乘到出租車）．假設游客甲乘小船行駛的方位角是α，出租汽車的速度為66km/h．
（Ⅰ）設，問小船的速度為多少km/h時，游客甲才能和游船同時到達點Q；
（Ⅱ）設小船速度為10km/h，請你替該游客設計小船行駛的方位角α，當角α余弦值的大小是多少時，游客甲能按計劃以最短時間到達Q．

Answer 1

【答案】分析：（I）作PN⊥AB，N為垂足，由．，解Rt△PNQ和Rt△PNM，得到PQ和PM及MQ的長，構造方程可得滿足條件的船速
（II）當小船行駛的方位角為α時，解三角形分別求出PM，MQ長，進而求出時間t的解析式，利用導數法，求出函數的最小值，可得答案．
解答：解：（Ⅰ） 如圖，作PN⊥AB，N為垂足．
，，
在Rt△PNQ中，PN=PQsinθ=（km），
QN=PQcosθ=（km）．
在Rt△PNM中，（km）．…（3分）
設游船從P到Q所用時間為t₁h，游客甲從P經M到Q所用時間為t₂h，
小船的速度為v₁km/h，則（h），（h）．  …（5分）
由已知得：，，
∴．…（7分）
∴小船的速度為km/h時，游客甲才能和游船同時到達Q．
（Ⅱ）在Rt△PMN中，（km），
（km）．
∴（km）．               …（9分）
∴=．…（11分）
∵，…（13分）
∴令t'=0得：．
當時，t'＞0；當時，t'＜0．
∵cosα在上是減函數，
∴當方位角α滿足時，t最小，
即游客甲能按計劃以最短時間到達Q．…（15分）
點評：本題考查的知識點是函數模型的選擇與應用，根據已知構造出恰當的函數是解答本題的關鍵．