Question

已知圓C：（x-1）²+（y+2）²=9，是否存在斜率為1的直線L，使以直線L被圓C截得的弦AB為直徑的圓經(jīng)過原點(diǎn)？若存在，寫出直線方程； 若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：由已知中圓C：（x-1）²+（y+2）²=9，直線L的斜率為1，我們設(shè)出直線的斜截式方程，聯(lián)立方程，根據(jù)韋達(dá)定理我們可以根據(jù)以AB為直徑的圓過原點(diǎn)，構(gòu)造關(guān)于b的方程，解方程即可求出答案．

解答：解：設(shè)直線L的方程為：y=x+b，且直線L被圓C截得的弦AB的坐標(biāo)為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
聯(lián)立：

y=x+b x2-2x+y2+4y-4=0

得2x²+（2+2b）x+b²+4b-4=04分
由題意得：△=（2+2b）²-8（b²+4b-4）＞0
得：-3-3

2

＜b＜-3+3

2

…6分
由韋達(dá)定理可得：x1+x2=-b-1，x1x2=

b2+4b-4

2

8分
又以AB為直徑的圓過原點(diǎn)．∴x₁x₂+y₁y₂=0
化得：2x₁x₂+b（x₁+x₂）+b²=0
化簡b²+3b-4=0
∴b=-4或b=1合題意…12分
所求的直線方程為：x-y-4=0和x-y+1=0…14分

點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是直線和圓的方程的應(yīng)用，其中本題所使用的“設(shè)成不求”+“聯(lián)立方程”+“韋達(dá)定理”的方法是解答直線與圓錐曲線（包括圓）的關(guān)系時(shí)最常用的方法．