Question

因客流量臨時增大，某鞋店擬用一個高為50cm（即EF=50cm）的平面鏡自制一個豎直擺放的簡易鞋鏡．根據經驗，一般顧客AB的眼睛B到地面的距離x（cm）在區間[140，180]內．設支架FG高為h（0＜h＜90）cm，AG=100cm，顧客可視的鏡像范圍為CD（如圖所示），記CD的長度為y（y=GD-GC）．
（1）當h=40cm時，試求y關于x的函數關系式和y的最大值；
（2）當顧客的鞋A在鏡中的像A₁滿足不等關系GC＜GA₁≤GD（不計鞋長）時，稱顧客可在鏡中看到自己的鞋，若一般顧客都能在鏡中看到自己的鞋，試求h的取值范圍．

Answer 1

解：（1）因為FG=40，AG=100，所以由，即，解得，
同理，由，即，解得
所以
因為，所以y在[140，180]上單調遞減，
故當x=140cm時，y取得最大值為140cm
（2）由，得，
由，得，
所以由題意知GC＜A₁G=AG≤GD，即 對x∈[140，180]恒成立
從而對x∈[140，180]恒成立，∴40≤h＜70，
∴h的取值范圍為[40，70）．
分析：（1）根據三角形的相似，求出GC，GD的長，從而可構建函數，求導數，確定函數的單調性，即可求得結論；
（2）根據三角形的相似，求出GC，GD的長，由題意知GC＜A₁G=AG≤GD，即 對x∈[140，180]恒成立，從而對x∈[140，180]恒成立，由此可求h的取值范圍．
點評：本題考查函數模型的構建，考查函數的最值，考查恒成立問題，解題的關鍵是構建函數模型．