Question

a，b，c分別是△ABC中角A，B，C的對邊，且（sinB+sinC+sinA）（sinB+sinC-sinA）=

18

5

sinBsinC，邊b和c是關于x的方程：x²-9x+25cosA=0的兩根（b＞c），D為△ABC內任一點，點D到三邊距離之和為d．
（1）求角A的正弦值；       
 （2）求邊a，b，c；      
（3）求d的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由已知：（sinB+sinC+sinA）（sinB+sinC-sinA）=

18

5

sinBsinC，利用正弦定理可得b2+c2-a2=

8

5

bc，進而利用余弦定理求cosA，從而可求sinA的值；
（2）由方程x²-9x+25cosA=0，可得x²-9x+20=0，從而b=5，c=4，利用余弦定理a²=b²+c²-2bccosA=9，可求得a=3；
（3）設D到三邊的距離分別為x、y、z，利用間接法求出三角形面積并讓其等于6得到關于x、y和z的等式，而d等于x+y+z，兩者聯立消去z后表示出y的關系式，利用距離大于等于0得到一個不等式組，畫出此不等式組所表示的平面區域，在平面區域內得到d的最小值和最大值即可得到d的取值范圍．

解答：解：（1）由已知：（sinB+sinC+sinA）（sinB+sinC-sinA）=

18

5

sinBsinC
由正弦定理∴sin²B+sin²C-sin²A=

8

5

sinBsinC∴b2+c2-a2=

8

5

bc（2分）
由余弦定理cosA=

b2+c2-a2

2bc

=

4

5

，（3分）
∴sinA=

3

5

（4分）
（2）由（1）方程x²-9x+25cosA=0即x²-9x+20=0，則b=5，c=4（6分）
∴a²=b²+c²-2bccosA=9，∴a=3（8分）
（3）設D到三邊的距離分別為x、y、z，
則 S△ABC=

1

2

(3x+4y+5z)=6
d=x+y+z=

12

5

+

1

5

(2x+y)又x、y滿足

3x+4y≤12 x≥0 y≥0

由d=

12

5

+

1

5

（2x+y）得到y=-2x+5d-12，畫出不等式表示的平面區域得：y=-2x+5d-12是斜率為-2的一組平行線，
當該直線過不等式表示的平面區域中的O點即原點時與y軸的截距最小，把（0，0）代入到方程中求得d=

12

5

；
當該直線過A點時，與y軸的截距最大，把A（4．，0）代入即可求得d=4，
所以滿足題意d的范圍為：

12

5

＜d＜4

點評：本題以三角函數為載體，考查學生靈活運用余弦定理、三角形的面積公式及同角三角函數間的基本關系化簡求值，會進行簡單的線性規劃，是一道中檔題．