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7.在△ABC中,a、b、c是角A、B、C的對邊,則下列結論正確的序號是②③.
①若a、b、c成等差數列,則B=$\frac{π}{3}$;               ②若c=4,b=2$\sqrt{3}$,B=$\frac{π}{6}$,則△ABC有兩解;
③若B=$\frac{π}{6}$,b=1,ac=2$\sqrt{3}$,則a+c=2+$\sqrt{3}$;     ④若(2c-b)cosA=acosB,則A=$\frac{π}{6}$.

分析 由a、b、c成等差數列,得a+c=2b,兩邊平方可得a2+c2+2ac=4b2,求出cosB不一定等于$\frac{1}{2}$判斷①;利用正弦定理求出sinC,結合三角形中大邊對大角判斷②;求解三角形判斷③④.

解答 解:對于①,由a、b、c成等差數列,得a+c=2b,即a2+c2+2ac=4b2
cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-^{2}}{2ac}$=$\frac{3^{2}-2ac}{2ac}=\frac{3^{2}}{2ac}-1$,當b2≠ac時,B$≠\frac{π}{3}$,故①錯誤;
對于②,若c=4,b=2$\sqrt{3}$,B=$\frac{π}{6}$,則sinC=$\frac{c}•sinB=\frac{4}{2\sqrt{3}}•\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3}}{3}$>$\frac{1}{2}$,又c>b,
∴△ABC有兩解,故②正確;
對于③,∵B=$\frac{π}{6}$,b=1,ac=2$\sqrt{3}$,
∴b2=1=a2+c2-2ac•cosB=a2+c2-6,則a2+c2=7,
∴$(a+c)^{2}={a}^{2}+2ac+{c}^{2}=7+4\sqrt{3}$,則a+c=2+$\sqrt{3}$,故③正確;
對于④,若(2c-b)cosA=acosB,則2sinCcosA-sinBcosA=sinAcosB,
∴2sinCcosA=sinC,則cosA=$\frac{1}{2}$,A=$\frac{π}{3}$,故④錯誤.
∴正確的命題是②③.
故答案為:②③.

點評 本題考查命題的真假判斷與應用,考查三角形的解法,屬中檔題.

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