Question

已知函數f（x）=ln²（1+x）+2ln（1+x）-2x．
（I）證明函數f（x）在區間（0，1）上單調遞減；
（II）若不等式≤e²對任意的n∈N^*都成立，（其中e是自然對數的底數），求實數a的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（I）這是一個一般的函數，所以用導數法，即證明函數f（x）在區間（0，1）上的導數恒小于零．
（II）先將不等式≤e²對任意的n∈N^*都成立，兩邊取自然對數，轉化為，恒成立，再用導數法求最小值即可．
解答：解：（I）（1分）
設g（x）=ln（1+x）-x，x∈[0，1）

函數g（x）在x∈（0，1）上單調遞減，∴g（x）＜g（0）=0，
∴f'（x）＜0在x∈（0，1）上恒成立，
∴函數f（x）在x∈（0，1）上單調遞減．（4分）
（II）不等式等價于不等式
由知，，（5分）
設，（6分）
（7分）
設h（x）=（1+x）ln²（1+x）-x²（x∈[0，1]）（8分）
h'（x）=ln²（1+x）+2ln（1+x）-2x，
由（I）知x∈（0，1）時，h'（x）＜h'（0）=0
∴函數h（x）在x∈（0，1）上單調遞減，
h（x）＜h（0）=0
∴G'（x）＜0，∴函數G（x）在x∈（0，1]上單調遞減．
∴（11分）
故函數G（x）在（{0，1}]上的最小值為G（1）=
即，
∴a的最大值為（12分）
點評：本題主要通過函數的單調性及恒成立問題來考查用導數法求函數的最值問題．