Question

二次函數(shù)y=x²-x-6的圖象與坐標(biāo)軸交于A、B、C三點，圓M為△ABC的外接圓，斜率為2的直線l與圓M相交于不同兩點E、F，令EF的中點為N，O為坐標(biāo)原點，且|ON|=

1

2

|EF|．
（Ⅰ）求圓M的方程；
（Ⅱ）求直線l的方程．

Answer 1

分析：（I）根據(jù)二次函數(shù)的圖象，得出A、B、C的坐標(biāo)，從而算出圓M的圓心和半徑，即可得到圓M的方程；
（II）由題意可得△OEF是以O(shè)為直角頂點的直角三角形，設(shè)直線l方程為y=2x+n并與圓M方程消去y，得關(guān)于x的一元二次方程，設(shè)E（x₁，y₁）、F（x₂，y₂），得x₁+x₂、x₁x₂關(guān)于n的式子，代入

OE

•

OF

=0化簡得到關(guān)于n的方程，解之得n=-6或

5

2

，即可得到滿足條件的直線l方程．

解答：解：（I）∵二次函數(shù)y=x²-x-6的圖象交x軸于點A（-2，0）和B（3，0）
∴△ABC的外接圓的圓心M在AB的中垂線上，設(shè)M（

1

2

，m）
又∵拋物線y=x²-x-6交y軸交于C（0，-6）
∴|PA|=|PC|，得

( 1 2 +2)2+(m-0)2

=

( 1 2 +0)2+(m+6)2

解之得m=-

5

2

，得圓M的圓心為（

1

2

，-

5

2

），
半徑r=

( 1 2 +2)2+(- 5 2 -0)2

=

5 2

2

∴圓M的方程為（x-

1

2

）²+（y+

5

2

）²=

25

2

；
（2）∵EF的中點為N，坐標(biāo)原點O滿足|ON|=

1

2

|EF|
∴△OEF是以O(shè)為直角頂點的直角三角形．
設(shè)直線l方程為y=2x+n，與圓M方程消去y，得5x²+（4n+9）x+n²+5n-6=0
設(shè)E（x₁，y₁），F(xiàn)（x₂，y₂），可得x₁+x₂=-

4n+9

5

，x₁x₂=

n2+5n-6

5

．
∵

OE

•

OF

=x₁x₂+y₁y₂=0，即5x₁x₂+2n（x₁+x₂）+n²
∴5×

n2+5n-6

5

+2n×（-

4n+9

5

）+n²=0，解之得n=-6或

5

2

因此，滿足條件的直線l方程為y=2x+

5

2

或y=2x-6

點評：本題求滿足條件的直線與圓的方程，著重考查了圓的方程和直線與圓的位置關(guān)系等知識是，屬于中檔題．