Question

已知≤a≤1，若f（x）=ax²-2x+1在區間[1，3]上的最大值M（a），最小值N（a），設g（a）=M（a）-N（a）．
（1）求g（a）的解析式；
（2）判斷g（a）單調性，求g（a）的最小值．

Answer 1

解：（1）當≤a≤時N（a）=f（），M（a）=f（1），
此時g（a）=f（1）-f（）=a+-2；
當＜a≤1時N（a）=f（），M（a）=f（3），
此時g（a）=f（3）-f（）=9a+-6；
∴g（a）= …（6分）
（2）當≤a≤時，∵g（a）=a+-2，∴g′（a）=1-＜0，
∴g（a）在[，]上單調遞減．
同理可知g（a）在（，1]上單調遞增
∴g（a）_min=g（）=．…（12分）
分析：（1）根據已知條件a＞0，知函數是二次函數，其圖象是開口向上的拋物線．因此討論對稱軸：x=與區間[1，3]的關系，得到函數的單調性后再找出相應的最值，即可得g（a）的解析式；
（2）通過求導數，討論其正負，可得到函數g（a）在區間[，]上單調減，而在（，1]上單調增，因此不難得出
g（a）的最小值為g（）=．
點評：本題考查了二次函數在閉區間上的最值問題，屬于基礎題．研究二次函數的最值的關鍵是用其圖象，或用導數研究它的單調性．