Question

已知圓C：x²+（y-2）²=5，直線l：mx-y+1=0
（1）求證：對m∈R，直線l與圓C總有兩個不同交點；
（2）當m=1時，設圓C與直線l相交于點A和點B，求△ABC的面積．

Answer 1

分析：（1）利用點到直線的距離可得：圓心C到直線l的距離d，只要證明d＜r，即可得到直線l與與圓C總有兩個不同交點．
（2）當m=1時，利用點到直線的距離公式可得圓心C（0，2）到直線l的距離d，再利用弦長公式可得|AB|=2

r2-d2

，利用三角形的面積計算公式可得S_△ABC=

1

2

|AB|•d．

解答：解：（1）圓心C到直線l的距離d=

1

m2+1

≤1＜

5

=r，直線l與與圓C總有兩個不同交點．
（2）當m=1時，圓心C（0，2）到直線l的距離d=

|0-2+1|

2

=

2

2

，
∴|AB|=2

5-( 2 2 )2

=3

2

，
S_△ABC=

1

2

|AB|•d=

1

2

×3

2

×

2

2

=

3

2

．

點評：本題考查了直線與圓相交的位置關系轉化為圓心到直線的距離與半徑的大小關系、點到直線的距離公式、弦長公式、垂徑定理等基礎知識與基本技能方法，屬于中檔題．