Question

已知sinα+cosα=

1

3

，則

(tanα+cotα)•(1+tanα)

sinα

=（　　）

• A．

  16

  81

• B．

  81

  16

• C．

  16

  27

• D．

  27

  16

Answer 1

分析：根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，化簡得原式=

sinα+cosα

(sinαcosα)2

．再由sinα+cosα=

1

3

，利用平方關(guān)系算出sinαcosα=-

4

9

，代入化簡后的式子即可求出原式的值．

解答：解：∵tanα=

sinα

cosα

，cotα=

cosα

sinα

，sin²α+cos²α=1
∴

(tanα+cotα)•(1+tanα)

sinα

=

( sinα cosα + cosα sinα )•(1+ sinα cosα )

sinα

=（

sinα

cosα

+

cosα

sinα

）•

sinα+cosα

sinαcosα

=

sin2α+cos2α

sinαcosα

•

sinα+cosα

sinαcosα

=

sinα+cosα

(sinαcosα)2

…（*）
∵sinα+cosα=

1

3

，
∴平方得(sinα+cosα)2=1+2sinαcosα=

1

9

，
由此可得sinαcosα=-

4

9

，
結(jié)合sinα+cosα=

1

3

代入（*）式，可得原式=

1 3

(- 4 9 )2

=

27

16

．
故選：D

點評：本題給出α的正余弦值之和，求另一個三角函數(shù)式的值．著重考查了同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、三角函數(shù)的化簡求值等知識，屬于中檔題．