Question

甲、乙兩隊各3名同學參加世博知識競賽，每人回答一個問題，答對得1分，答錯得0分．假設甲隊每人答對的概率均為，乙隊中3人答對的概率分別為，，．且每個人回答正確與否互不影響，用ξ表示甲隊的總分．
（1）求ξ的分布列及期望；
（2）記事件A“甲乙兩隊總分之和等于3”，事件B“甲隊總分大于乙隊總分”，求P（AB）．

Answer 1

解：（1）甲隊中的3人答題可看做3次獨立重復試驗．
事件A：甲隊一人答題答對，
則P（A）=，
又答對得1分，答錯得0分，
∴甲隊的總分ξ～（3，），
∴P（ξ=0）=，P（ξ=1）==，
P（ξ=2）=，P（ξ=3）=．
∴分布列為

∴Eξ=3×=2；
（2）事件AB：甲乙兩隊得分之和為3分，且甲隊得分大于乙隊得分，
所以，事件AB包括甲隊得3分，乙隊得0分；甲隊得2分，乙隊得1分，
∵乙隊中3人答對的概率分別為，，，∴乙隊中3人答錯的概率分別為．
∴P（AB）=+×[××+××+]
=．
所以，P（AB）=．
分析：（1）甲隊中的3名同學各自獨立的回答一個問題，且答對的概率均為，所以可以理解為進行3次獨立重復試驗，3名同學答題得分的所有可能為0、1、2、3，利用獨立重復試驗的概率公式求出ξ分別是0、1、2、3時的概率，則ξ的分布列可求，數學期望可直接利用二項分布的期望公式求解；
（2）事件A“甲乙兩隊總分之和等于3”，事件B“甲隊總分大于乙隊總分”，則事件AB所包含的情況為：“甲隊得3分，乙隊得0分”；“甲隊得2分，乙隊得1分”，兩類情況為互斥事件，每一類的概率可用相互獨立事件的概率求解．
點評：本題考查了n次獨立重復試驗恰有k次發生的概率，訓練了離散型隨機變量的分布列的求解，考查了二項分布的期望公式，考查了互斥事件的概率等于概率和，練習相互獨立事件的概率的求法，是中檔題．