Question

如圖，直角梯形ABCD中，∠DAB=90°，AD∥BC，AB=2，AD=

3

2

，BC=

1

2

橢圓F以A、B為焦點(diǎn)，且經(jīng)過點(diǎn)D，
（Ⅰ）建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，求橢圓F的方程；
（Ⅱ）是否存在直線與橢圓F交于M，N兩點(diǎn)，且線段MN的中點(diǎn)為點(diǎn)C，若存在，求直線的方程；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）以AB中點(diǎn)為原點(diǎn)O，AB所在直線為x軸，建立直角坐標(biāo)系，則A（-1，0）B（1，0）D（-1，

3

2

），設(shè)橢圓F的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1，(a＞b＞0)得

(-1)2 a2 + ( 3 2 )2 b2 =1 a2=b2+1

，由此能求出橢圓F方程．
（Ⅱ）若存在這樣的直線l，依題意，l不垂直x軸，設(shè)l方程y-

1

2

=k(x-1)，代入代入

x2

4

+

y2

3

=1，得(3+4k2)x2+8k(

1

2

-k)x+4(k-

1

2

)2-12=0，設(shè)M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），借助韋達(dá)定理能夠?qū)С鲋本�l方程．

解答：解：（Ⅰ）以AB中點(diǎn)為原點(diǎn)O，AB所在直線為x軸，建立直角坐標(biāo)系，如圖
則A（-1，0）B（1，0）D（-1，

3

2

）
設(shè)橢圓F的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1，(a＞b＞0)
得

(-1)2 a2 + ( 3 2 )2 b2 =1 a2=b2+1

得4a4-17a2+4=0

&∵a2＞1，

∴a2=4，，b2=3
所求橢圓F方程

x2

4

+

y2

3

=1
（Ⅱ）解：若存在這樣的直線l，依題意，l不垂直x軸
設(shè)l方程y-

1

2

=k(x-1)
代入

x2

4

+

y2

3

=1，得(3+4k2)x2+8k(

1

2

-k)x+4(k-

1

2

)2-12=0
設(shè)M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂）有

x1+x2

2

=1
得

8k(k- 1 2 )

3+4k2

=2，得，k=-

3

2

又∵，點(diǎn)C(1，

1

2

)在橢圓

x 2

4

+

y2

3

=1內(nèi)部
故所求直線l方程y=-

3

2

x+2

點(diǎn)評：本題考查橢圓方程和直線方程的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，靈活運(yùn)用橢圓的性質(zhì)，合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．