Question

已知二項式展開式中各項系數之和比各二項式系數之和大240，
（1）求n；
（2）求展開式中含x項的系數；
（3）求展開式中所有x的有理項．

Answer 1

解：（1）由已知得：4ⁿ-2ⁿ=240，2ⁿ=16，n=4…（3分）
（2）通項，
令
所以含x項的系數：C₄²5²（-1）²=150…（8分）
（3）由（2）得：，即r=0，2，4
所以展開式中所有x的有理項為：T₁=625x⁴，T₃=150x，T₅=x^-2…（13分）
分析：（1）由于各項系數之和為M=4ⁿ，二項式系數之和為N=2ⁿ，M-N=240=4ⁿ-2ⁿ，解方程求得 n 的值．
（2）利用二項展開式的通項公式寫出第r+1項，令x的指數為1得到系數，得到結果．
（3）根據第二問寫出的結果，使得x的指數是整數，列舉出有三個結果，寫出這幾項即可．
點評：本題考查各項系數之和，與二項式系數之和的關系，得到 各項系數之和為M=4ⁿ，二項式系數之和為N=2ⁿ，是解題的關鍵．