Question

已知函數(shù)f（x）=sin²ωx-

3

sinωxcosωx（ω＞0）的最小正周期π
（1）求ω的值及函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）求函數(shù)f（x）在[0，

2π

3

]上的值域．

Answer 1

分析：（1）先將函數(shù)根據(jù)三角函數(shù)的二倍角公式和兩角和與差的正弦公式化簡為一個角是一個三角函數(shù)的形式，根據(jù)周期公式可得ω的值．通過正弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間直接解函數(shù)單調(diào)增區(qū)間即可．
（2）通過x的范圍，求出相位的范圍，利用正弦函數(shù)的值域，直接求出所求函數(shù)的值域即可．

解答：解：（1）、f（x）=sin²ωx-

3

sinωxcosωx
=

1-cos2ωx

2

-

3

2

sin2ωx
=

1

2

-sin(2ωx+

π

6

)
因為函數(shù)f（x）=sin²ωx-

3

sinωxcosωx（ω＞0）的最小正周期π
所以ω=1
因為f（x）=

1

2

-sin(2x+

π

6

)，
由2kπ+

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

3π

2

，k∈Z得kπ+

π

6

≤x≤kπ+

2π

3

，k∈Z
單調(diào)遞增區(qū)間為[kπ+

π

6

，kπ+

2π

3

]，k∈Z
（2）、f（x）=

1

2

-sin(2x+

π

6

)
∵x∈[0，

2π

3

]，
∴2x+

π

6

∈[

π

6

，

3π

2

]，
∴sin(2x+

π

6

)∈[-1，1]，
∴

1

2

-sin(2x+

π

6

)∈[-

1

2

，

3

2

]，
所以函數(shù)的值域為：[-

1

2

，

3

2

]．

點評：本題主要考查三角函數(shù)最小正周期的求法和單調(diào)區(qū)間的求法，以及函數(shù)的值域的求法，一般先將函數(shù)化簡為一個角是一個三角函數(shù)的形式再解題．