Question

已知橢圓的離心率，過點A（0，-b）和B（a，0）的直線與原點的距離為．
（1）求橢圓的方程；
（2）已知定點E（-1，0），若直線y=kx+2（k≠0）與橢圓交于C、D兩點，問：是否存在k的值，使以CD為直徑的圓過E點？請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）直線AB方程為bx-ay-ab=0，依題意可得：，由此能求出橢圓的方程．
（2）假設存在這樣的值．，得（1+3k²）x²+12kx+9=0，再由根的判別式和根與系數的關系進行求解．
解答：解：（1）直線AB方程為bx-ay-ab=0，
依題意可得：，
解得：a²=3，b=1，
∴橢圓的方程為．
（2）假設存在這樣的值．
，
得（1+3k²）x²+12kx+9=0，
∴△=（12k）²-36（1+3k²）＞0…①，
設C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），
則
而y₁•y₂=（kx₁+2）（kx₂+2）=k₂x₁x₂+2k（x₁+x₂）+4，
要使以CD為直徑的圓過點E（-1，0），
當且僅當CE⊥DE時，
則y₁x₁+y₂x₂+1=-1，
即y₁y₂+（x₁+1）（x₂+1）=0，
∴（k²+1）x₁x₂+（2k+1）（x₁+x₁）+5=0…③
將②代入③整理得k=，
經驗證k=使得①成立綜上可知，存在k=使得以CD為直徑的圓過點E．
點評：本題考查圓與圓錐曲線的綜合性質和應用，解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地進行等價轉化．