Question

（2012•湖南）設定義在R上的函數f（x）是最小正周期2π的偶函數，f′（x）是函數f（x）的導函數，當x∈[0，π]時，0＜f（x）＜1； 當x∈（0，π） 且x≠

π

2

時，（x-

π

2

）f′（x）＞0，則函數y=f（x）-sinx在[-2π，2π]上的零點個數為（　　）

A．2

B．4

C．5

D．8

Answer 1

分析：根據x∈（0，π） 且x≠

π

2

時，（x-

π

2

）f′（x）＞0，確定函數的單調性，利用函數的圖形，即可得到結論．

解答：解：∵x∈（0，π） 且x≠

π

2

時，（x-

π

2

）f′（x）＞0
∴x∈（0，

π

2

），函數單調減，x∈（

π

2

，π），函數單調增
∵x∈[0，π]時，0＜f（x）＜1，
在R上的函數f（x）是最小正周期為2π的偶函數，在同一坐標系中作出y=sinx和y=f（x）草圖象如下，

由圖知y=f（x）-sinx在[-2π，2π]上的零點個數為4個．
故選B

點評：本題考查函數的單調性，考查函數的零點，考查函數的周期性與奇偶性，屬于基礎題．