Question

已知數列

1

1×4

，

1

4×7

，

1

7×10

，…，

1

(3n-2)(3n+1)

，…，
（1）計算S₁，S₂，S₃，S₄；
（2）猜想S_n的表達式，并用數學歸納法證明．

Answer 1

分析：（1）直接計算
（2）由（1）猜想并進行證明

解答：解：（1）S1=

1

4

，S2=

2

7

，S3=

3

10

，S4=

4

13

（2）Sn=

n

3n+1

證明：①當n=1時，S1=

1

3×1+1

=

1

4

，結論成立
②假設當n=k時成立，結論成立，即Sk=

k

3k+1

當n=k+1時，Sk+1=Sk+ ak+1 =

k

3k+1

+

1

(3k+1)(3k+4)

=

k(3k+4)+1

(3k+1)(3k+4)

=

(k+1)(3k+1)

(3k+1)(3k+4)

=

k+1

3(k+1)+1

∴當n=k+1時結論成立
∴對于任意的k∈N₊結論都成立

點評：本題主要考查數學歸納法的應用，用歸納法證明數學命題時的基本步驟：（1）檢驗n=1成立（2）假設n=k時成立，由n=k成立推導n=k+1成立，要注意由歸納假設到檢驗n=k+1的遞推．