Question

已知直線y=2x上一點P的橫坐標(biāo)為a，A（-1，1），B（3，3），則使向量

PA

與

PB

的夾角為鈍角的充要條件是

 

．

Answer 1

分析：由題意知P點的坐標(biāo)為（a，2a），進(jìn)而可得

PA

=（-1-a，1-2a），

PB

=（3-a，3-2a）．
由向量

PA

與

PB

的夾角為鈍角，得

PA

•

PB

＜0，可得0＜a＜2，而當(dāng)a=1時，

PA

，

PB

反向共線，其夾角為π，則a≠1

解答：解：由題意知P點的坐標(biāo)為（a，2a），

PA

=（-1-a，1-2a），

PB

=（3-a，3-2a）．
由向量

PA

與

PB

的夾角為鈍角，得：

PA

•

PB

=（-1-a，1-2a）•（3-a，3-2a）
=（-1-a）（3-a）+（1-2a）（3-2a）=5a²-10a＜0，
∴0＜a＜2，但是當(dāng)a=1時，

PA

，

PB

反向共線，其夾角為π，
則向量

PA

與

PB

的夾角為鈍角的充要條件是0＜a＜2且a≠1．
故答案為：0＜a＜2且a≠1．

點評：本題主要考查了向量的數(shù)量積的定義在求夾角范圍中的應(yīng)用，此類問題容易出錯的地方是由向量

PA

與

PB

的夾角為鈍角只得

PA

•

PB

＜0，而漏掉對180°的排除（夾角為銳角的同理要排除0°）