Question

已知數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列，b₁＝1，b₁＋b₂＋…＋b₁₀＝100．

(1)求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)b_n；

(2)設(shè)數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)a_n＝lg(1＋)，記S_n為{a_n}的前n項(xiàng)和，試比較S_n與的大小，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)設(shè)數(shù)列{bn}的公差為d，由題意得 　　(2)由bn＝2n－1，知Sn＝lg(1＋1)＋lg(1＋)＋…＋lg(1＋)＝lg[(1＋1)(1＋)(1＋)…(1＋)]， 　　． 　　∴要比較Sn與的大小，可先比較 　　(1＋1)(1＋)(1＋)…(1＋)與的大小． 　　取n＝1、2、3時(shí)，得出(1＋1)(1＋)…(1＋)＞　　① 　　成立，于是猜想①式恒成立，下面給出證明： 　　(i)當(dāng)n＝1時(shí)，左邊＝1＋1＝2＞， 　　∴不等式成立． 　　(ii)假設(shè)當(dāng)n＝k時(shí)不等式成立，即 　　(1＋1)(1＋)……(1＋)＞成立， 　　則當(dāng)n＝k＋1時(shí)，左邊＝(1＋1)(1＋)…＞ 　　＝． 　　∴當(dāng)n＝k＋1時(shí)，不等式成立． 　　由(i)(ii)得不等式恒成立， 　　∴Sn＞恒成立． 　　思路分析：本題為綜合性問題，在比較Sn與的大小時(shí)，不易比較，可通過觀察、歸納、猜想證明解答．