Question

函數y=f（x）在區間（0，+∞）內可導，導函數f'（x）是減函數，且f′（x）＞0．設x₀∈（0，+∞），y=kx+m是曲線y=f（x）在點（x₀，f（x₀））得的切線方程，并設函數g（x）=kx+m．
（Ⅰ）用x₀、f（x₀）、f′（x₀）表示m；
（Ⅱ）證明：當x₀∈（0，+∞）時，g（x）≥f（x）．

Answer 1

（Ⅰ）y-f（x₀）=f'（x₀）（x-x₀）
∴m=f（x₀）-x₀f'（x₀）．
（Ⅱ）證明：令h（x）=g（x）-f（x），則h'（x）=f'（x₀）-f'（x），h'（x₀）=0．
因為f'（x）遞減，所以h'（x）遞增，因此，當x＞x₀時，h'（x）＞0；
當x＜x₀時，h'（x）＜0．所以x₀是h（x）唯一的極值點，且是極小值點，
可知h（x）的最小值為0，因此h（x）≥0，即g（x）≥f（x）．