Question

設函數f(x)=x2-ax+(a-2)lnx

，(a＞2)

（1）若函數f（x）在點x=2處有極值，求a的值；
（2）討論函數f（x）的單調性．

Answer 1

分析：（1）求導函數，利用函數f（x）在點x=2處有極值，可得f′（2）=0，從而可求a的值；
（2）對參數a討論，利用導數的正負，可得函數f（x）的單調性．

解答：解：（1）求導函數，可得f′（x）=

(x-1)[2x-(a-2)]

x

（x＞0）
∵函數f（x）在點x=2處有極值，
∴f′（2）=0，解得a=6；
（2）①當a=4時，f′（x）=

2(x-1)2

x

≥0在（0，+∞）上恒成立，∴函數的單調增區間為（0，+∞）；
②當2＜a＜4時，即1＞

a-2

2

，f′（x）＞0有解為x＞1或0＜x＜

a-2

2

；f′（x）＜0有解為1＞x＞

a-2

2

，此時函數f（x）增區間為（0，

a-2

2

），（1，+∞）；減區間為（

a-2

2

，1）；
③當a＞4時，即1＜

a-2

2

，f′（x）＞0有解為0＜x＜1或x＞

a-2

2

；f′（x）＜0有解為1＜x＜

a-2

2

，此時函數f（x）增區間為（0，1），（

a-2

2

，+∞）；減區間為（1，

a-2

2

）．

點評：本題考查導數知識的運用，考查函數軛極值與單調性，考查分類討論的數學思想，屬于中檔題．