Question

用長度為定值l的鐵絲圍成一個底面邊長是x，體積是V的正四棱柱形狀的框架．
（Ⅰ）試將V表示成x的函數，并指出x的取值范圍；
（Ⅱ）當正四棱柱的底面邊長和高之比是多少時，其體積最大？

Answer 1

分析：（Ⅰ）先用為定值l和底面邊長x表示出正四棱柱的高，然后根據正四棱柱的體積公式等于底面積乘以高得到V與x的關系式，根據l-8x大于0得到x的范圍；
（Ⅱ）求出V′，討論導函數的正負決定函數的增減性得到函數的最大值時x的取值即可．

解答：解：（Ⅰ）由長度為定值l的鐵絲圍成的底面邊長為x，則正四棱柱的高為

l-8x

4

，根據體積公式得：
V=x²•

l-8x

4

=

l

4

x²-2x³，
又因為l-8x＞0且x＞0解得x的取值范圍是（0，

1

8

）．
（Ⅱ）求出V′=

l

2

x-6x²=-6x（x-

l

12

），
在（0，

l

12

）上，V′＞0，函數單調遞增；在（

l

12

，

l

8

）上，V′＜0，函數單調遞減．
∴當x=

l

12

時，V取最大值．
此時，正四棱柱的高為

l

12

，于是當正四棱柱底面邊長和高之比是1時，其體積最大．

點評：考查學生會根據實際問題選擇合適的函數類型，掌握棱柱的體積公式，會利用導數求閉區間上函數的最值．