Question

【題目】函數是定義在上的不恒為零的函數，對于任意實數滿足： ,, 考查下列結論：① ；②為奇函數；③數列為等差數列；④數列為等比數列.

以上結論正確的是__________．

Answer 1

【答案】②③④

【解析】

①因為對定義域內任意x,y,f(x)滿足f(xy)=yf(x)+xf(y)，

∴令x=y=1,得f(1)=0，故①錯誤，

②令x=y=1,得f(1)=0；

令y=1,有f(x)=f(x)+xf(1)，

代入f(1)=0得f(x)=f(x)，

故f(x)是(∞,+∞)上的奇函數．故②正確，

③若 (n∈N)，

則

.為常數.

故數列{}為等差數列，故③正確，

④∵f(2)=2,f(xy)=xf(y)+yf(x)，

∴當x=y時,f(x2)=xf(x)+xf(x)=2xf(x)，

則，

.

…

則，

若n∈N)，

則為常數，

則數列{}為等比數列，故④正確，

故答案為②③④．