Question

已知函數f（x）=x³-ax²+3x，a∈R，
（1）若x=3是f（x）的極值點，求f（x）在x∈[1，5]上的最大值；
（2）若函數f（x）是R上的單調遞增函數，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由題意知f'（x）=3x²-2ax+3=0的一個根為x=3，把這個根代入得到字母系數的值，求出a=5，再求出函數的極值，把極值同兩個端點的值進行比較得到最值．（2）對函數求導，要f（x）在R上是增函數，則有3x²-2ax+3≥0在R內恒成立，問題轉化成恒成立問題，根據基本不等式得到結果．

解答：解：（1）由題意知f'（x）=3x²-2ax+3=0的一個根為x=3，從而f′（3）=0，解得a=5，所以f'（x）=3x²-10x+3=0的另一個根為x=

1

3

，函數在（1，3）上為減函數，（3，5）上為增函數，從而可知當x=5時，f（x）在x∈[1，5]上的最大值
是15
（2）函數f（x）是R上的單調遞增函數轉化為3x²-2ax+3≥0在R內恒成立，
從而有f'（x）=3x²-10x+3=0的△≤0，解得a∈[-3，3]．

點評：本題考查導數的應用，求極值和求最值，考查學生等價轉化問題的能力．