Question

（1）已知數列{a_n}的通項公式：an=

2•3n+2

3n-1

  (n∈N)，試求{a_n}最大項的值；
（2）記bn=

an+p

an-2

，且滿足（1），若{ (bn)

1

3

 }成等比數列，求p的值；
（3）（理）如果Cn+1=

Cn+p

Cn+1

， C1＞-1 ，C1≠

2

，且p是滿足（2）的正常數，試證：對于任意
自然數n，或者都滿足C2n-1＞

2

 ， C2n＜

2

；或者都滿足C2n-1＜

2

 ， C2n＞

2

．
（文）若{b_n}是滿足（2）的數列，且{ (bn)

1

3

 }成等比數列，試求滿足不等式：-b₁+b₂-b₃+…+（-1）ⁿ•b_n≥2004的自然數n的最小值．

Answer 1

分析：（1）將等式化簡，利用指數函數的性質可得a_n≤4．從而可得{a_n}的最大項的值．
 （2）欲使{ (bn)

1

3

 }成等比數列，只需{b_n}成等比數列． 利用條件即等比數列的通項可求；
（3）（理）p=2，Cn+1=

Cn+2

Cn+1

=1+

1

Cn+1

，從而可有(C2n-

2

) (C2n-1-

2

)＜0，故可證；
（文）∵p=-2不合題意，∴p=2⇒b_n=3ⁿ，從而可求-b₁+b₂-b₃+…+（-1）ⁿ•b_n的和，進而可解不等式，求出自然數n的最小值．

解答：解：（1）an=

2 (3n-1)+4

3n-1

=2+

4

3n-1

，
∴an-2=

4

3n-1

≤

4

31-1

=2，則a_n≤4．
即{a_n}的最大項的值為4．
（2）欲使{ (bn)

1

3

 }成等比數列，只需{b_n}成等比數列．
∵bn=

an+p

an-2

=

2+p

4

•3n+

2-p

4

，∴只需

2+p

4

=0或

2-p

4

=0即可．解得p=2或p=-2．
（3）（理）p=2，Cn+1=

Cn+2

Cn+1

=1+

1

Cn+1

，
∵C₁＞-1，∴C_n＞-1．又C1≠

2

，
∴C2≠

2

 ， … ， Cn≠

2

．
∵(C2n-

2

) (C2n-1-

2

)=

(1- 2 ) ( C2n-1- 2 )

C2n-1+1

＜0，
∴C2n-1＞

2

 ， C2n＜

2

；或C2n-1＜

2

 ， C2n＞

2

．
（文）∵p=-2不合題意，∴p=2⇒b_n=3ⁿ，
據題意，

-3 [ 1-(-3)n]

1-(-3)

≥2004⇒(-3)n+1≤-4019，n_min=8．

點評：本題以數列為載體，考查數列與不等式，考查等比數列的求和，有較強的綜合性．